Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
#1
Posted 28-06-2015 - 20:11
#2
Posted 28-06-2015 - 20:19
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được
- yeudiendanlamlam and NhatTruong2405 like this
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#3
Posted 28-06-2015 - 21:06
Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được
Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không Sao mình làm không ra Xin cảm ơn trước
- yeudiendanlamlam likes this
#4
Posted 28-06-2015 - 21:22
Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không Sao mình làm không ra Xin cảm ơn trước
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ
- yeudiendanlamlam and NhatTruong2405 like this
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#5
Posted 28-06-2015 - 21:32
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ
Sao mình vẫn không ra nhỉ Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được
- yeudiendanlamlam likes this
#6
Posted 28-06-2015 - 21:42
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ
mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn
#7
Posted 28-06-2015 - 21:59
mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn
Vì bất đẳng thức đồng bậc nên có thể chuẩn hóa như vậy đó bạn
Sao mình vẫn không ra nhỉ Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được
Làm theo hệ số k cũng là tiếp tuyến đó bạn bạn thử làm lại xem
- yeudiendanlamlam and NhatTruong2405 like this
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#8
Posted 28-06-2015 - 22:07
Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được
Edited by NhatTruong2405, 28-06-2015 - 22:10.
- yeudiendanlamlam likes this
#9
Posted 28-06-2015 - 22:20
Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được
Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn
Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra
Edited by Tuan Hoang Nhat, 28-06-2015 - 22:21.
- yeudiendanlamlam and NhatTruong2405 like this
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#10
Posted 28-06-2015 - 22:28
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Ta có :
$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}$$
$$=\sum \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$
$$=2\sum a^2.\sum \frac{1}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$
$$\geq 2\sum a^2.\frac{9}{5\sum a^2}-3=\frac{3}{5}$$
- canhhoang30011999, hoanglong2k, yeudiendanlamlam and 1 other like this
#11
Posted 28-06-2015 - 22:31
Áp dụng Cauchy-Schwarz có :
$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}=\sum \frac{a^4}{a^4+a^2b^2+a^2c^2+2a^2bc}$$
$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^4+2\sum a^2b^2+2abc(a+b+c)}$$
$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{2}{3}.(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{5}$$
- hoanglong2k, yeudiendanlamlam and Nhok Tung like this
#12
Posted 28-06-2015 - 22:32
Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn
Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra
Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.
- yeudiendanlamlam likes this
#13
Posted 28-06-2015 - 22:34
Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn
Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra
Nếu $k=\frac{12}{25}$ thì bđt $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ đâu chứng minh được đâu bạn nãy giờ mình cứ khúc mắt chỗ đó
- yeudiendanlamlam and Tuan Hoang Nhat like this
#14
Posted 28-06-2015 - 22:43
Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.
Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này
Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$
Từ đó dẫn đến ĐPCM
Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$
Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$
- yeudiendanlamlam and NhatTruong2405 like this
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#15
Posted 28-06-2015 - 22:45
Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này
Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$
Từ đó dẫn đến ĐPCM
Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$
Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$
Không liên quan
Cảm ơn bạn mình hiểu rồi
- yeudiendanlamlam and Tuan Hoang Nhat like this
#16
Posted 28-06-2015 - 22:57
Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này
Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$
Từ đó dẫn đến ĐPCM
Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$
Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$
Không liên quan
Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...
- yeudiendanlamlam likes this
#17
Posted 28-06-2015 - 23:02
Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...
Bạn thử lên google seach: Phương pháp hệ số bất định UCT thử xem.
Mình nhác tìm quá
- Lam Ba Thinh and yeudiendanlamlam like this
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users