Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
#1
Đã gửi 28-06-2015 - 20:11
#2
Đã gửi 28-06-2015 - 20:19
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được
- yeudiendanlamlam và NhatTruong2405 thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#3
Đã gửi 28-06-2015 - 21:06
Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được
Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không Sao mình làm không ra Xin cảm ơn trước
- yeudiendanlamlam yêu thích
#4
Đã gửi 28-06-2015 - 21:22
Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không Sao mình làm không ra Xin cảm ơn trước
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ
- yeudiendanlamlam và NhatTruong2405 thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#5
Đã gửi 28-06-2015 - 21:32
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ
Sao mình vẫn không ra nhỉ Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được
- yeudiendanlamlam yêu thích
#6
Đã gửi 28-06-2015 - 21:42
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ
mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn
#7
Đã gửi 28-06-2015 - 21:59
mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn
Vì bất đẳng thức đồng bậc nên có thể chuẩn hóa như vậy đó bạn
Sao mình vẫn không ra nhỉ Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được
Làm theo hệ số k cũng là tiếp tuyến đó bạn bạn thử làm lại xem
- yeudiendanlamlam và NhatTruong2405 thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#8
Đã gửi 28-06-2015 - 22:07
Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 28-06-2015 - 22:10
- yeudiendanlamlam yêu thích
#9
Đã gửi 28-06-2015 - 22:20
Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được
Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn
Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuan Hoang Nhat: 28-06-2015 - 22:21
- yeudiendanlamlam và NhatTruong2405 thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#10
Đã gửi 28-06-2015 - 22:28
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Ta có :
$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}$$
$$=\sum \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$
$$=2\sum a^2.\sum \frac{1}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$
$$\geq 2\sum a^2.\frac{9}{5\sum a^2}-3=\frac{3}{5}$$
- canhhoang30011999, hoanglong2k, yeudiendanlamlam và 1 người khác yêu thích
#11
Đã gửi 28-06-2015 - 22:31
Áp dụng Cauchy-Schwarz có :
$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}=\sum \frac{a^4}{a^4+a^2b^2+a^2c^2+2a^2bc}$$
$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^4+2\sum a^2b^2+2abc(a+b+c)}$$
$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{2}{3}.(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{5}$$
- hoanglong2k, yeudiendanlamlam và Nhok Tung thích
#12
Đã gửi 28-06-2015 - 22:32
Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn
Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra
Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.
- yeudiendanlamlam yêu thích
#13
Đã gửi 28-06-2015 - 22:34
Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn
Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra
Nếu $k=\frac{12}{25}$ thì bđt $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ đâu chứng minh được đâu bạn nãy giờ mình cứ khúc mắt chỗ đó
- yeudiendanlamlam và Tuan Hoang Nhat thích
#14
Đã gửi 28-06-2015 - 22:43
Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.
Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này
Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$
Từ đó dẫn đến ĐPCM
Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$
Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$
- yeudiendanlamlam và NhatTruong2405 thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#15
Đã gửi 28-06-2015 - 22:45
Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này
Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$
Từ đó dẫn đến ĐPCM
Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$
Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$
Không liên quan
Cảm ơn bạn mình hiểu rồi
- yeudiendanlamlam và Tuan Hoang Nhat thích
#16
Đã gửi 28-06-2015 - 22:57
Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này
Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$
Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$
Từ đó dẫn đến ĐPCM
Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$
Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$
Không liên quan
Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...
- yeudiendanlamlam yêu thích
#17
Đã gửi 28-06-2015 - 23:02
Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...
Bạn thử lên google seach: Phương pháp hệ số bất định UCT thử xem.
Mình nhác tìm quá
- Lam Ba Thinh và yeudiendanlamlam thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh