Chủ đề này có 5 trả lời

[quan1234]

Chứng minh rằng nếu x,y,z là số thực dương sao cho $x^2+y^2+z^2=2$ thì $x+y+z\leq xyz+2$

[dogsteven]

Nếu $x\leqslant 0$ thì $xyz+2-x-y-z=x(yz-1)+(2-y-z)\geqslant 0$

Nếu $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ thì xét hai trường hợp

- $x\leqslant 1$ thì $xyz+2-x-y-z=(yz-1)(x-1)+(y-1)(z-1)\geqslant 0$

- $x\geqslant 1$ thì $x+y+z\leqslant \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=2\sqrt{yz+1}\leqslant yz+2\leqslant xyz+2$

[binhnhaukhong]

Nhiều bài dùng pp phân tách trường hợp kiểu này thì loạn não mất 

[LeHKhai]

Chứng minh rằng nếu x,y,z là số thực dương sao cho $x^2+y^2+z^2=2$ thì $x+y+z\leq xyz+2$

áp dụng bất đẳng thức C-S ta có :

$x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right).1\leq \sqrt{\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)^2+1\right)}=\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2+2yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}=\sqrt{2\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}$

do đó cần chứng minh $\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\leq 2\Leftrightarrow yz\leq 1$, đúng vì $yz\leq \frac{y^2+z^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1$

dấu "$=$" không xảy ra????

[dogsteven]

áp dụng bất đẳng thức C-S ta có :

$x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right).1\leq \sqrt{\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)^2+1\right)}=\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2+2yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}=\sqrt{2\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}$

do đó cần chứng minh $\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\leq 2\Leftrightarrow yz\leq 1$, đúng vì $yz\leq \frac{y^2+z^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1$

dấu "$=$" không xảy ra????

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c=1$ và các hoán vị.

[LeHKhai]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c=1$ và các hoán vị.

Đề cho $x$, $y$, $z$ dương mà