Chủ đề này có 1 trả lời

[thichmontoan]

Cho $a,b,c$ là các số dương. CMR:

$\frac{a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}>2$

[NhatTruong2405]

Đặt $x=b+c,y=c+a,z=a+b \rightarrow a=\frac{y+z-x}{2},b=\frac{x+z-y}{2},c=\frac{x+y-z}{2}$ Do a,b,c dương nên x,y,z dương,$y+z> x,x+z> y,x+y> z$ Ta có $\frac{a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{25(x+z-y)}{2y}+\frac{4(x+y-z)}{2z}=(\frac{y}{2x}+\frac{25x}{2y})+(\frac{z}{2x}+\frac{2x}{z})+(\frac{25z}{2y}+\frac{2y}{z})-15\geq 2\sqrt{\frac{y}{2x}\frac{25x}{2y}}+2\sqrt{\frac{z}{2x}\frac{2x}{z}}+2\sqrt{\frac{25z}{2y}\frac{2y}{z}}-15$ Nên $\frac{a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\geq 2$ Dấu bằng xảy ra $\leftrightarrow x=\frac{y}{5}=\frac{z}{2} \rightarrow y=x+2z>x+z$ nên đẳng thức không xảy ra Vậy $\frac{a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}> 2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 30-06-2015 - 21:09