3 replies to this topic

[NhatTruong2405]

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca+abc=4$
Chứng minh $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \leq 3$

Edited by NhatTruong2405, 02-07-2015 - 14:59.

[Hoang Long Le]

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca+abc=4$
Chứng minh $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \leq 3$

 Theo giả thiết, đặt $a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}$

 Ta có bất đẳng thức tương đương :

$$2\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}\leq 3\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{xy(x+y)}\leq 3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

 Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

$$\sum \sqrt{xy(x+y)}\leq \sqrt{2(xy+yz+zx)(x+y+z)}$$

 Lại có 

$$(xy+yz+zx)(x+y+z)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$$

$$\Rightarrow 2\sum \sqrt{xy(x+y)}\leq 2\sqrt{2.\frac{9}{8}.(x+y)(y+z)(z+x)}=3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

[NguyenDangHuyYTNA]

Cách 2.Đặt $\sqrt{ab}=x,\sqrt{bc}=y,\sqrt{ca}=z=>x^2+y^2+z^2+xyz=4.Cần Cm x+y+z\leq 3.Ta có \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)+xyz+0.5\geq xy+yz+zx=>9\geq (x+y+z)^2=>dpcm$

Edited by NguyenDangHuyYTNA, 02-07-2015 - 16:24.

[ngutoanso1]

$ \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)+xyz+0.5\geq xy+yz+zx$

bạn giải thích cho mình phần này với. mình không hiểu