Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$
Ta có: $1 =a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow \sqrt[3]{abc} \leq \frac{1}{3}$
Lại có: $A =\sum \frac{a}{b} +\sqrt[3]{abc} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} +\sqrt[3]{abc}$
$\Rightarrow A \geq \frac{1}{\sqrt[3]{abc}} +9\sqrt[3]{abc} -8\sqrt[3]{abc} \geq 6 -\frac{8}{3} =\frac{10}{3}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)} \leq \frac{10}{3} \Leftrightarrow a^2+b^2 +c^2 \geq \frac{1}{3} = \frac{(a+b+c)^2}{3}$ (đúng theo AM-GM).
Từ đó ta có đpcm
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
giải thích cho mình chỗ
$\sum \frac{a}{c}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}$
được không bạn???
Ta có $\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$
TT cộng lại là được
Live more - Be more
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh