Chủ đề này có 7 trả lời

[LTH]

Giả sử $x \geq y \geq z\geq 0$ . Chứng minh

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2} + y^{2} + z^{2}$

 

Mấy bạn dùng BĐT Cauchy - Schawarz giải giúp mình bài này nhé. Đang thắc mắc   Mình cám ơn trước

[Hoang Nhat Tuan]

Giả sử $x \geq y \geq z\geq 0$ . Chứng minh

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2} + y^{2} + z^{2}$

 

Mấy bạn dùng BĐT Cauchy - Schawarz giải giúp mình bài này nhé. Đang thắc mắc   Mình cám ơn trước

Sử dụng BĐT C-S ta có:

$\sqrt{\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}}.\sqrt{\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}}\geq x^2+y^2+z^2$

Cần chứng minh:$\sum \frac{x^2y}{z}\geq \sum \frac{x^2z}{y}$

BĐT này tương đương:

$\frac{(x-y)(y-z)(x-z)(xy+yz+xz)}{xyz}\geq 0$ (hiển nhiên đúng theo giả thiết)

[Truong Gia Bao]

Giả sử $x \geq y \geq z\geq 0$ . Chứng minh

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2} + y^{2} + z^{2}$

 

Mấy bạn dùng BĐT Cauchy - Schawarz giải giúp mình bài này nhé. Đang thắc mắc   Mình cám ơn trước

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y})(\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x})\geq (x^2+y^2+z^2)^2$

Mặt khác vì $x\geq y\geq z\Rightarrow \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}-\frac{x^2z}{y}-\frac{y^2x}{z}-\frac{z^2y}{x}=\frac{(xy+yz+xz)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz}\geq 0\rightarrow đpcm$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

[LTH]

Cám ơn. mấy bạn có thể giải thích cho mình rõ hơn chỗ biến đổi thành cái bđt tương đương á. mình chưa hiểu chỗ đó

[Truong Gia Bao]

Cám ơn. mấy bạn có thể giải thích cho mình rõ hơn chỗ biến đổi thành cái bđt tương đương á. mình chưa hiểu chỗ đó

Bạn cứ chuyển vế, quy đồng rồi phân tích thành nhân tử thôi!

[dogsteven]

Đặt $f(x,y,z)=\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}$, đây là một hàm số hoán vị theo ba biến $x,y,z$

Do đó $f(x,y,z)+f(z,y,x)$ là một hàm số đối xứng theo ba biến $x,y,z$ và $f(x,y,z)-f(z,y,x)$ chứa $(x-y)(y-z)(z-x)$

Do đó ta có ý tưởng chứng minh $f(x,y,z)\geqslant f(z,y,x)$, sau đó có thể cộng lại và dùng AM-GM hoặc nhân lại và dùng Cauchy-Schwarz.

[LTH]

Bạn cứ chuyển vế, quy đồng rồi phân tích thành nhân tử thôi!

Cám ơn bạn, do mình nhầm dấu phân tích không ra. giờ làm ra rồi

[the man]

Cách khác:

Ta có: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}-(x^2+y^2+z^2)$

           $=\frac{x^2(y-z)}{z}+\frac{y^2(z-x)}{x}+\frac{z^2(x-y)}{y}$

           $=\frac{x^2(y-z)}{z}-\frac{y^2[(y-z)+(x-y)]}{x}+\frac{z^2(x-y)}{y}$

           $=(y-z).\frac{x^3-y^2z}{xz}+(x-y).\frac{xz^2-y^3}{xy}$

           $\geq (y-z).\frac{x^2z-y^2z}{xz}+(x-y).\frac{yz^2-y^3}{xy}$

           $=\frac{(y-z)(x-y)(x+y)}{x}+\frac{(x-y)(z-y)(z+y)}{x}$

           $=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{x}\geq 0$