Chủ đề này có 4 trả lời

[foollock holmes]

cho $a,b,c$ là số đo ba cạnh của tam giác CMR

$\sum {a^2b(a-b)}\geq0$

[Hoang Nhat Tuan]

cho $a,b,c$ là số đo ba cạnh của tam giác CMR

$\sum {a^2b(a-b)}\geq0$

Bài này mình đã giải ở đây nhé:http://diendantoanho...b-cc2ac-ageq-0/

[the man]

Cách 2:

Không mất tính tổng quát, giả sử  $a=max(a,b,c)$ thì

$\sum a^2b(a-b)=a(b+c-a)(b-c)^2+b(a-b)(a-c)(a+b-c)\geq 0$

Cách 3:

$\sum a^2b(a-b)=\frac{1}{2}[(a-b)^2(b+c-a)(b+a-c)+(b-c)^2(c+a-b)(c+b-a)$

                                           $+(c-a)^2(a+b-c)(a+c-b)]\geq 0$

 

 

 

[KietLW9]

cho $a,b,c$ là số đo ba cạnh của tam giác CMR

$\sum {a^2b(a-b)}\geq0$

Ta cần chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì ta có $\left\{\begin{matrix}bc\leqslant ca\leqslant ab & \\ a^2+bc\geqslant b^2+ca\geqslant c^2+ab & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức hoán vị cho hai dãy trên, ta được: 

$bc(a^2+bc)+ca(b^2+ca)+ab(c^2+ab)\leqslant bc(b^2+ca)+ca(c^2+ab)+ab(a^2+bc)\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

[KietLW9]

Tổng quát: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $n$ là số tự nhiên không nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng: $a^nb(a-b)+b^nc(b-c)+c^na(c-a)\geqslant 0$