Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Bài toán: Cho $a,b,c >0$. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{(a+1)^3}{b^2}+\frac{(b+1)^3}{c^2}+\frac{(c+1)^3}{a^2}+\frac{(a+b+c)^2}{27} \geq 11+6\sqrt{3}$

[Nguyen Huy Hoang]

Bài này cứ AM-GM nỗ lực là ra

 

$P \geq \frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{9\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{27}$

 

thấy: $(a+1)(b+1)(c+1) = abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \\ \geq abc+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3\sqrt[3]{abc}+1$

 

Đặt $\sqrt[6]{abc}=t$ , suy ra:

$P \geq \frac{3t^6+9t^4+9t^2+3}{t^4}+\frac{t^4}{3} \\ =(3t^2+\frac{9}{t^2}) +(\frac{3}{t^4}+\frac{t^4}{3})+9$

$\geq 2\sqrt{27}+2+9=11+6\sqrt{3}$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{3}$