1 reply to this topic

[khanghaxuan]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn : $a,b,c>-1$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{1+a^{2}}{1+b+c^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+c+a^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a+b^{2}}\geq 2$

 

Spoiler

Có lẽ là bài BĐT cuối cùng trong sự nghiệp toán học chuyên nghiệp   

Edited by khanghaxuan, 04-07-2015 - 16:31.

[an1712]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn : $a,b,c>-1$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{1+a^{2}}{1+b+c^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+c+a^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a+b^{2}}\geq 2$

 

Spoiler

Có lẽ là bài BĐT cuối cùng trong sự nghiệp toán học chuyên nghiệp   

ta có:

$\frac{b^2+1}{2}\geq b \Leftrightarrow \frac{a^2+1}{1+b+c^2}\geq \frac{a^2+1}{\frac{3}{2}+\frac{b^2}{2}+c^2}$

áp dụng CBS

$\sum \frac{a^2+1}{\frac{3}{2}+\frac{b^2}{2}+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+3)^2}{3(\sum a^2)+\frac{3}{2}(\sum a^2b^2)+\frac{9}{2}}\geq 2$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(\sum a^2b^2)$ hiển nhiên