Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - -2015
Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - -2015
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
-Chọn $x=y=1= > \frac{f(1)+f(1)}{\sqrt{f(1)}}=\frac{1+1}{\sqrt{1}}= > \frac{2f(1)}{\sqrt{f(1)}}=2= > f(1)=\sqrt{f(1)}= > f(1)=1$
(Do hàm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty )$ nên $f(1)$ khác $0$)
- Chọn $y=1$ và áp dụng $f(1)=1$
$= > \frac{f(x)+f(1)}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \frac{f(x)+1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \sqrt{f(x)}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{f(x)}}= > (\sqrt{f(x)}-\sqrt{x})(1-\frac{1}{\sqrt{xf(x)}})=0$
Do đó $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\frac{1}{x}$ .Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán
-Chọn $x=y=1= > \frac{f(1)+f(1)}{\sqrt{f(1)}}=\frac{1+1}{\sqrt{1}}= > \frac{2f(1)}{\sqrt{f(1)}}=2= > f(1)=\sqrt{f(1)}= > f(1)=1$
(Do hàm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty )$ nên $f(1)$ khác $0$)
- Chọn $y=1$ và áp dụng $f(1)=1$
$= > \frac{f(x)+f(1)}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \frac{f(x)+1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \sqrt{f(x)}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{f(x)}}
$= > (\sqrt{f(x)}-\sqrt{x})(1-\frac{1}{\sqrt{xf(x)}})=0$
Do đó $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\frac{1}{x}$ .Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán
Lời giải thiếu rồi. Từ khúc màu đỏ chưa thể suy ra tồn tại hai hàm như vậy được.
Có thể bổ sung tiếp như sau :
Ta thấy hai hàm $f(x)\equiv x,f(x)\equiv \dfrac{1}{x}$ thoả đề.
Ta chứng minh đây là hai hàm duy nhất thoả đề. Thật vậy, giả sử tồn tại các số dương $a,b \neq 1$ sao cho $f(a)=a,f(b)=\dfrac{1}{b}$. Trong $(1)$ cho $x=a,y=b$ :
$$\frac{a+1/b}{\sqrt{f(ab)}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\Rightarrow f(ab)=\frac{(ab+1)^2a}{b(a+b)^2}$$
Nếu mà $f(ab)=ab$ thì :
$$\frac{(ab+1)^2.a}{b(a+b)^2}=ab\Leftrightarrow \frac{ab+1}{a+b}=b\Leftrightarrow b=1$$
Mâu thuẫn.
Còn nếu $f(ab)=\dfrac{1}{ab}$ thì :
$$\dfrac{(ab+1)^2a}{b(a+b)^2}=\dfrac{1}{ab}\Leftrightarrow \dfrac{ab+1}{a+b}=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a=1$$
Cũng mâu thuẫn.
Tóm lại là chỉ có hai nghiệm hàm như trên thoả mãn đề ra
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh