Chủ đề này có 7 trả lời

[Lee LOng]

Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 $(ab)^{3}+(bc)^{3}+(ca)^{3}\leq \frac{1}{64}$

 

[dogsteven]

Giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$, khi đó ta có:  $a^3(b^3+c^3)+b^3c^3=a^3(b+c)^3+b^3c^3-3a^3bc(b+c)\leqslant a^3(b+c)^3$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $a(b+c)\leqslant \dfrac{1}{4}$ luôn đúng theo AM-GM

[Bui Ba Anh]

Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 $(ab)^{3}+(bc)^{3}+(ca)^{3}\leq \frac{1}{64}$

Ta có: $VT=(\sum ab)(\sum (ab)^2-abc \sum a)=q(q^2-3r)$

Theo Schur $p^3+9r \geq 4pq=> r \geq \frac{4q-1}{9}$

Thế vào trên ta được $q(q^2-\frac{3(4q-1)}{9}) \leq \frac{1}{64}$ với $q \leq \frac{1}{3}$ hy vọng đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 05-07-2015 - 11:33

[Nguyen Minh Hai]

Ta có: $VT=(\sum ab)(\sum (ab)^2-abc \sum a)=q(q^2-r)$

Theo Schur $p^3+9r \geq 4pq=> r \geq 4q-1$

Thế vào trên ta được $\color{red}{q(q^2-4q+1) \leq \frac{1}{64}$ với $q \leq \frac{1}{3}}$ hy vọng đúng

Chỗ này sai rồi... với $q=\frac{1}{5}$ thì sai.

[Hoang Nhat Tuan]

Ta có: $VT=(\sum ab)(\sum (ab)^2-abc \sum a)=$$q(q^2-r)$

Theo Schur $p^3+9r \geq 4pq=>$ $r \geq 4q-1$

Thế vào trên ta được $q(q^2-4q+1) \leq \frac{1}{64}$ với $q \leq \frac{1}{3}$ hy vọng đúng

Sai rồi anh ơi

[Bui Ba Anh]

Sai rồi anh ơi

đã fix

[Punn]

Klq cơ mà cho tớ hỏi Làm sao để post bài lên đây vậy?   

[hoanglong2k]

Ta có: $VT=(\sum ab)(\sum (ab)^2-abc \sum a)=q(q^2-3r)$

Theo Schur $p^3+9r \geq 4pq=> r \geq \frac{4q-1}{9}$

Thế vào trên ta được $q(q^2-\frac{3(4q-1)}{9}) \leq \frac{1}{64}$ với $q \leq \frac{1}{3}$ hy vọng đúng

 Anh xem lại khai triển ạ 

 

 

Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 $(ab)^{3}+(bc)^{3}+(ca)^{3}\leq \frac{1}{64}$

 Viết lại bất đẳng thức bằng ngôn ngữ $p,q,r$ thì ta cần chứng minh 

   $q^3-3qr+3r^2\leq \frac{1}{64}$

 Với $q\leq \frac{1}{4}$ thì ta có :

   $q\geq 9r\geq r\Rightarrow q^3-3qr+3r^2\leq \frac{1}{64}+3r(r-q)\leq \frac{1}{64}$

 Với $\frac{1}{3}\geq q\geq \frac{1}{4}$, áp dụng Schur ta có :

   $q\leq \frac{9r+1}{4}\Rightarrow q^3-3qr+3r^2\leq \left ( \frac{9r+1}{4} \right )^3-\frac{3r}{4}+3r^2$

 Ta cần chứng minh $\left ( \frac{9r+1}{4} \right )^3-\frac{3r}{4}+3r^2\leq \frac{1}{64}$ với $r\in \left [ 0;\frac{1}{27} \right ]$

 Biến đổi tương đương là ra