Chủ đề này có 3 trả lời

[binhbo]

Cho x,y>0 và x+y<1. Tìm Min $P=\frac{x^{2}}{1-x}+\frac{y^{2}}{1-y}+\frac{1}{x+y}+x+y$

[Nhok Tung]

Do 0 < x+y < 1 nên 1 - x, 1 - y >0. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

P $\geq$ $\frac{(x+y)^{2}}{2-(x+y)}+\frac{1}{x+y}+x+y$

Đặt x + y = t ( 0 < t <1) ta có P $\geq \frac{t^{2}}{2-t}+t+\frac{1}{t}=\frac{2t}{2-t}+\frac{2-t}{2t}+\frac{1}{2}\geq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy Min P = $\frac{5}{2}\Leftrightarrow t=x+y=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 06-07-2015 - 20:07

[arsfanfc]

nhầm mod xóa dùm  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 06-07-2015 - 20:15

[thuylinh284]

Từ GT => 1-x>0 ; 1-y>0 ; x+y>0

P=$(\frac{x^2}{1-x}+1+x)+(\frac{y^2}{1-y}+1+y)+\frac{1}{x+y}-2 = \frac{x^2+1-x^2}{1-x}+\frac{y^2+1-y^2}{1-y}+\frac{1}{x+y}-2 = \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}-2 \geq \frac{9}{1-x+1-y+x+y}-2=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$

Min P= $\frac{5}{2}$ <=> x=y=$\frac{1}{3}$