Chủ đề này có 10 trả lời

[arsfanfc]

 Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ Cm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25 $

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ Cm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25 $

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 07-07-2015 - 16:53

[Nguyen Minh Hai]

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài giải sai hoàn toàn!

[binhnhaukhong]

Dồn biến thì cần chứng minh BĐT khi có 2 số bằng nhau.

[arsfanfc]

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}$ 

$=> ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$...bạn xem lại cái

[Nguyen Huy Hoang]

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bạn làm mình cứ ngỡ có 1 phương pháp giải mới 

[Minhnguyenthe333]

$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}$
$=> ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$...bạn xem lại cái

$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}$
$=> ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$...bạn xem lại cái

Bài giải sai hoàn toàn!

Em lấy ví dụ minh hoạ:
$x\leq 6$
$4\leq 6$
Vậy có 2 TH là $x\geq 4$ hay $x< 4$ hoặc ngược lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 07-07-2015 - 22:43

[Nguyen Minh Hai]

Em lấy ví dụ minh hoạ:
$x\leq 6$
$4\leq 6$
Vậy có 2 TH là $x\geq 4$ hay $x< 4$ hoặc ngược lại

Ôi thần linh ơi! Bạn quả là một thiên tài!

Bạn cố gắng đi chứng minh $ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$ trong khi $ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$

Spoiler

Bài này không đơn giản thế đâu! Ngoài điểm rơi $a=b=c=\frac{1}{3}$ thì có có thêm $a=b=\frac{1}{4},c=\frac{1}{2}$ và hoán vị nữa!

[Nguyen Minh Hai]

 Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ Cm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25 $

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+24(a+b+c)^2 \geq 25+24(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a}-24a^2 \right ) \geq 1$

 

$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \geq 1$           với $f(x) = \frac{1}{x}-24x^2$

 

Có: $f'(x)=\frac{-1}{x^2}-48x <0$ với $\forall x \in (0;1)$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$

 

Ta xét các khoảng: $\left (0;\frac{1}{4} \right ]$ ;  $\left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$  

 

                                $\left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$ ;  $\left (\frac{1}{2};1 \right )$

 

Giả sử $1>a \geq b \geq c >0$ thì ta chỉ cần xét các trường hợp

 

Trường hợp 1: $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

Trường hợp 2: $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$

 

Trường hợp 3: $b,c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{2};1 \right )$

 

Trường hợp 4: $c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$

 

Trường hợp 5: $b,c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$

 

Trường hợp 6: $c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$

 

Và vì $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ nên $f(x) \geq f(\beta )$ với $x \in \left [ \alpha ;\beta \right ]$

 

Nên ta có thể giải quyết tiếp..... 

 

Spoiler

Mới nghĩ đến đó....Ai có cách hay hơn k ?   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 08-07-2015 - 00:21

[Minhnguyenthe333]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+24(a+b+c)^2 \geq 25+24(a^2+b^2+c^2)$
 
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a}-24a^2 \right ) \geq 1$
 
$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \geq 1$           với $f(x) = \frac{1}{x}-24x^2$
 
Có: $f'(x)=\frac{-1}{x^2}-48x <0$ với $\forall x \in (0;1)$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$
 
Ta xét các khoảng: $\left (0;\frac{1}{4} \right ]$ ;  $\left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$  
 
                                $\left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$ ;  $\left (\frac{1}{2};1 \right )$
 
Giả sử $1>a \geq b \geq c >0$ thì ta chỉ cần xét các trường hợp
 
Trường hợp 1: $a=b=c=\frac{1}{3}$
 
Trường hợp 2: $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$
 
Trường hợp 3: $b,c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{2};1 \right )$
 
Trường hợp 4: $c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
 
Trường hợp 5: $b,c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
 
Trường hợp 6: $c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
 
Và vì $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ nên $f(x) \geq f(\beta )$ với $x \in \left [ \alpha ;\beta \right ]$
 
Nên ta có thể giải quyết tiếp..... 
 

Spoiler

Mới nghĩ đến đó....Ai có cách hay hơn k ?   

Mình thấy lỗi sai rồi, cảm ơn bạn

[arsfanfc]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+24(a+b+c)^2 \geq 25+24(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a}-24a^2 \right ) \geq 1$

 

$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \geq 1$           với $f(x) = \frac{1}{x}-24x^2$

 

Có: $f'(x)=\frac{-1}{x^2}-48x <0$ với $\forall x \in (0;1)$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$

 

Ta xét các khoảng: $\left (0;\frac{1}{4} \right ]$ ;  $\left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$  

 

                                $\left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$ ;  $\left (\frac{1}{2};1 \right )$

 

Giả sử $1>a \geq b \geq c >0$ thì ta chỉ cần xét các trường hợp

 

Trường hợp 1: $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

Trường hợp 2: $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$

 

Trường hợp 3: $b,c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{2};1 \right )$

 

Trường hợp 4: $c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$

 

Trường hợp 5: $b,c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$

 

Trường hợp 6: $c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$

 

Và vì $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ nên $f(x) \geq f(\beta )$ với $x \in \left [ \alpha ;\beta \right ]$

 

Nên ta có thể giải quyết tiếp..... 

 

Spoiler

Mới nghĩ đến đó....Ai có cách hay hơn k ?   

Cách khác là dồn biến với$ f(a,b,c) \geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$ với a max

Spoiler

với cách này thì bài toán trở nên dễ hơn nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 08-07-2015 - 06:59