Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ Cm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25 $
CM $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25$
#1
Đã gửi 07-07-2015 - 15:07
#2
Đã gửi 07-07-2015 - 16:50
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ Cm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25 $
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 07-07-2015 - 16:53
- Integralization1995 yêu thích
#3
Đã gửi 07-07-2015 - 16:56
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài giải sai hoàn toàn!
- Nguyen Huy Hoang, arsfanfc và congdaoduy9a thích
#5
Đã gửi 07-07-2015 - 16:58
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}$
$=> ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$...bạn xem lại cái
- Nguyen Huy Hoang yêu thích
~YÊU ~
#6
Đã gửi 07-07-2015 - 20:46
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki:
$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
mà $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \sum ab\geq \frac{1}{3}$ (1) hay $\sum ab<\frac{1}{3}$ (2)
Giả sử TH (2) là đúng
$\Leftrightarrow \sum a(1-3b)>0\rightarrow 3b<1,3a<1,3c<1\Leftrightarrow \sum 3b <3$ (Vô lý)
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 9+16=25$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bạn làm mình cứ ngỡ có 1 phương pháp giải mới
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
#7
Đã gửi 07-07-2015 - 22:42
$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}$
$=> ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$...bạn xem lại cái
$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}$
$=> ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$...bạn xem lại cái
Em lấy ví dụ minh hoạ:Bài giải sai hoàn toàn!
$x\leq 6$
$4\leq 6$
Vậy có 2 TH là $x\geq 4$ hay $x< 4$ hoặc ngược lại
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 07-07-2015 - 22:43
#8
Đã gửi 07-07-2015 - 23:27
Em lấy ví dụ minh hoạ:
$x\leq 6$
$4\leq 6$
Vậy có 2 TH là $x\geq 4$ hay $x< 4$ hoặc ngược lại
Ôi thần linh ơi! Bạn quả là một thiên tài!
Bạn cố gắng đi chứng minh $ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$ trong khi $ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$
- Nguyen Huy Hoang yêu thích
#9
Đã gửi 08-07-2015 - 00:18
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ Cm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25 $
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+24(a+b+c)^2 \geq 25+24(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a}-24a^2 \right ) \geq 1$
$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \geq 1$ với $f(x) = \frac{1}{x}-24x^2$
Có: $f'(x)=\frac{-1}{x^2}-48x <0$ với $\forall x \in (0;1)$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$
Ta xét các khoảng: $\left (0;\frac{1}{4} \right ]$ ; $\left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$
$\left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$ ; $\left (\frac{1}{2};1 \right )$
Giả sử $1>a \geq b \geq c >0$ thì ta chỉ cần xét các trường hợp
Trường hợp 1: $a=b=c=\frac{1}{3}$
Trường hợp 2: $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$
Trường hợp 3: $b,c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{2};1 \right )$
Trường hợp 4: $c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Trường hợp 5: $b,c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Trường hợp 6: $c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Và vì $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ nên $f(x) \geq f(\beta )$ với $x \in \left [ \alpha ;\beta \right ]$
Nên ta có thể giải quyết tiếp.....
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 08-07-2015 - 00:21
- Nguyen Huy Hoang, Mikhail Leptchinski, arsfanfc và 2 người khác yêu thích
#10
Đã gửi 08-07-2015 - 06:25
Mình thấy lỗi sai rồi, cảm ơn bạnBất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+24(a+b+c)^2 \geq 25+24(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a}-24a^2 \right ) \geq 1$
$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \geq 1$ với $f(x) = \frac{1}{x}-24x^2$
Có: $f'(x)=\frac{-1}{x^2}-48x <0$ với $\forall x \in (0;1)$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$
Ta xét các khoảng: $\left (0;\frac{1}{4} \right ]$ ; $\left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$
$\left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$ ; $\left (\frac{1}{2};1 \right )$
Giả sử $1>a \geq b \geq c >0$ thì ta chỉ cần xét các trường hợp
Trường hợp 1: $a=b=c=\frac{1}{3}$
Trường hợp 2: $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$
Trường hợp 3: $b,c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{2};1 \right )$
Trường hợp 4: $c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Trường hợp 5: $b,c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Trường hợp 6: $c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Và vì $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ nên $f(x) \geq f(\beta )$ với $x \in \left [ \alpha ;\beta \right ]$
Nên ta có thể giải quyết tiếp.....
Spoiler
#11
Đã gửi 08-07-2015 - 06:59
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+24(a+b+c)^2 \geq 25+24(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a}-24a^2 \right ) \geq 1$
$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \geq 1$ với $f(x) = \frac{1}{x}-24x^2$
Có: $f'(x)=\frac{-1}{x^2}-48x <0$ với $\forall x \in (0;1)$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$
Ta xét các khoảng: $\left (0;\frac{1}{4} \right ]$ ; $\left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$
$\left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$ ; $\left (\frac{1}{2};1 \right )$
Giả sử $1>a \geq b \geq c >0$ thì ta chỉ cần xét các trường hợp
Trường hợp 1: $a=b=c=\frac{1}{3}$
Trường hợp 2: $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$
Trường hợp 3: $b,c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{2};1 \right )$
Trường hợp 4: $c \in \left (0;\frac{1}{4} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Trường hợp 5: $b,c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Trường hợp 6: $c \in \left (\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right ]$ và $a,b \in \left (\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$
Và vì $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ nên $f(x) \geq f(\beta )$ với $x \in \left [ \alpha ;\beta \right ]$
Nên ta có thể giải quyết tiếp.....
Spoiler
Cách khác là dồn biến với$ f(a,b,c) \geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$ với a max
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 08-07-2015 - 06:59
- Hoang Nhat Tuan yêu thích
~YÊU ~
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh