Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

   Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c> 0$ . CMR:

 

     $(a^{2015}-a^{2013}+3)(b^{2015}-b^{2013}+3)(c^{2015}-c^{2013}+3)\geq 9(ab+bc+ac)$

 

 

[hoanglong2k]

   Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c> 0$ . CMR:

 

     $(a^{2015}-a^{2013}+3)(b^{2015}-b^{2013}+3)(c^{2015}-c^{2013}+3)\geq 9(ab+bc+ac)$

 Ta có : $(a^{2013}-1)(a^2-1)\geq 0\Leftrightarrow a^{2015}-a^{2013}+3\geq a^2+2$

 $\Rightarrow (a^{2015}-a^{2013}+3)(b^{2015}-b^{2013}+3)(c^{2015}-c^{2013}+3)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz thì $9(ab+bc+ca)\leq 3(a+b+c)^2\leq 3(a^2+2)\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $(b^2+2)(c^2+2)\geq 3\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]$

                                           $\Leftrightarrow 2(bc-1)^2+(b-c)^2\geq 0$ luôn đúng

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Spoiler

Chúc mừng anh lên Thiếu Tá 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 08-07-2015 - 10:25