1 reply to this topic

[the man]

Bài toán (Austrian-Polish 1999). Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x,y)$  thỏa mãn :

$$x^{x+y}=y^{y-x}$$

[dogsteven]

Giả sử $(x,y)=d$, khi đó $x=ad, y=bd$ và $(a,b)=1$ nên ta được: $a^{a+b}d^{2a}=b^{b-a}$ nên $b^{b-a}\vdots a^{a+b}\vdots a$ nên $a=1$

Do đó $b^{b-1}=d^{2}$ nên hoặc $b$ là số lẻ hoặc $b$ là số chính phương.

Nếu $b=2k+1$ thì $d=(2k+1)^k$

Nếu $b=k^2$ thì $d=k^{k^2-1}$

Edited by dogsteven, 09-07-2015 - 19:37.