Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Tung 126]

   Bài toán : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn với mọi số thực $x,y$ :

 

                       $f(x^2+f(y))=\frac{f^2(x)}{2}+4y$

[Bui Ba Anh]

   Bài toán : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn với mọi số thực $x,y$ :

 

                       $f(x^2+f(y))=\frac{f^2(x)}{2}+4y$

Lời giải: 

Cho $x=0$ trong $(1)$ ta có $f(f(y))=4y+\frac{1}{2}(f(0))^2$, dễ thấy $f$ song ánh

Do đó tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$, đặt $f(0)=b$

Kí hiệu $P(u;v)$ tức là thay $x=u;y=v$ trong $(1)$

+ $P(a;0)$, ta có $f(a^2+b)=0=f(a)$ hay $a^2+b=a(2)$

+ $P(0;a)$ ta có $f(0)=b=\frac{1}{2}b^2+4a(3)$

Từ $(2),(3)$ giải hệ ta thu được $(a;b)$= $(0;0)$ hay $(-1;-2)$

Xét hai trường hợp:

TH1:

+ $a=-1;b=-2$ tức là $f(-1)=0;f(0)=-2$

$P(0;0)$ ta có $f(-2)=2$

$P(2;0)$ ta có $f(2)=\frac{1}{2}(f(2))^2$ nên $f(2)=0$ hay $f(2)=2$ mâu thuẫn với việc $f$ song ánh

TH2:

$a=b=0$ ta có $f(0)=0$

$P(x;0)$ suy ra $2f(x^2)=(f(x))^2$

$P(0;y)$ suy ra $f(f(x))=4x$

Do đó: $f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}(f(x))^2=f(f(y))+f(x^2)(4)$

Thay $f(y)$ bởi $y$ trong $(4)$ ta có $f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)$

Hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$ với $x \geq 0; y \in R$

Từ $(f(x))^2=2f(x^2)$ ta có $(f(x))^2=(f(-x))^2$

Lại xét $f(x)=-f(-x)$, do tính tuần hoàn dễ suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi số thực $x;y$

Dễ suy ra $f$ là hàm cộng tính vì với mọi $x \geq 0$ thì $f(x) \geq 0$

Từ đó $f(x)=ax$, thử lại tìm được $f(x)=2x$

[an1712]

 

Thay $f(y)$ bởi $y$ trong $(4)$ ta có $f(x^2+y)

 

a cho e hỏi, sao lại thay đc $f(y)$ bởi y ạ

[Bui Ba Anh]

a cho e hỏi, sao lại thay đc $f(y)$ bởi y ạ

Vì $f$ toàn ánh đó bạn

Nếu không thì có thể thay $y$ bởi $f(y)$, rồi sử dụng $f(f(y))=4y$, cuối cùng thay $4y$ bởi $y$ cũng có đc điều trên