Chủ đề này có 2 trả lời

[letuananh29072000]

Cho  $x, y ,z > 0$ , xyz=1 . Chứng Minh Rằng :

 

 $\frac{1}{x^{3}(y+z)} + \frac{1}{y^{3}(z+x))} + \frac{1}{z^{3}(x+y)} \geq \frac{3}{2}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho  $x, y ,z > 0$ , xyz=1 . Chứng Minh Rằng :

 

 $\frac{1}{x^{3}(y+z)} + \frac{1}{y^{3}(z+x))} + \frac{1}{z^{3}(x+y)} \geq \frac{3}{2}$

Ta có:

$\sum \frac{1}{x^3(y+z)}=\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{xy+xz}\geq \frac{(\sum \frac{1}{x})^2}{2\sum xy}=\frac{\sum xy}{2}\geq \frac{3}{2}$

[KietLW9]

Cho  $x, y ,z > 0$ , xyz=1 . Chứng Minh Rằng :

 

 $\frac{1}{x^{3}(y+z)} + \frac{1}{y^{3}(z+x))} + \frac{1}{z^{3}(x+y)} \geq \frac{3}{2}$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 15:59