Cho: $a,b> 0; a+b\leq 1$
CM:$ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{17}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 10-07-2015 - 15:51
CM:$ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{17}{4}$
Bắt đầu bởi nguyennamphu1810, 10-07-2015 - 15:20
#2
Đã gửi 10-07-2015 - 16:09
hoctrocuaHolmes
-
- Thành viên
-
- 1013 Bài viết
Thượng úy
Cho: $a,b> 0; a+b\leq 1$CM:$ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{17}{4}$
Áp dụng AM-GM:$ab+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\geq 2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16.\frac{(a+b)^{2}}{4}}\geq 2.\frac{1}{4}+\frac{15}{4.1}=\frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$
Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 10-07-2015 - 16:26
#3
Đã gửi 10-07-2015 - 16:18
Truong Gia Bao
-
- Điều hành viên THPT
-
- 511 Bài viết
Thiếu úy
Cho: $a,b> 0; a+b\leq 1$CM:$ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{17}{4}$
Cách khác:
Dễ dàng chứng minh: $(a+b)^2\geq 4ab\Rightarrow ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{1}{4}$
Có $ab>0$ nên ta có: $ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{17}{4}\Leftrightarrow 4a^2b^2-17ab+4\geq 0\Leftrightarrow (ab-4)(4ab-1)\geq 0$
(luôn đúng với $ab>0$; $ab \leq \frac{1}{4}$)
$=>$ ĐPCM
Áp dụng AM-GM:$ab+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\geq 2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16.\frac{(a+b)^{2}}{4}}$ $=$ $ 2.\frac{1}{4}+\frac{15}{4.1}$ $\geq$ $\frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$
Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
Hai dấu này cần được đổi vị trí!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 10-07-2015 - 16:19
- Nguyen Huy Hoang yêu thích
"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
