Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$. Tìm max của $P=\frac{19b^3-a^3}{5b^2+ab}+\frac{19c^3-b^3}{5c^2+bc}+\frac{19a^3-c^3}{5a^2+ca}$
Ý tưởng là xét $\frac{19b^3-a^3}{5b^2+ab}$\leq$ $ma+nb$. Các bạn có thể chia sẻ cho mình cách nhanh nhất để tìm $m,n$ không ?
Bạn chỉnh lại cỡ chữ + Latex trước đã.
Nhận xét đẳng thức sẽ được giữ tại: $a=b=c=\frac{1}{3}$
Ta cần tìm $m;n$ sao cho: $\frac{19b^3-a^3}{5b^2+ab}\leq ma+nb$
Thay giá trị: $a=b=\frac{1}{3}$ vào: $\frac{19b^3-a^3}{5b^2+ab}$ được: $1$
Do đó cần phải đánh giá sao cho: $ma+nb=1$ xảy ra tại dấu =
Thay $a=b=\frac{1}{3}$ lần nữa vào, ta có: $m+n=3$ rút được: $n=3-m$
Như vậy cần chứng minh: $\frac{19b^3-a^3}{5b^2+ab}\leq ma+(3-m)b$
Quy đồng lên rồi rút nhân tử $a-b$ ra ngoài (tham khảo ở đây), ta có:
$(a-b).(a^2+abm+ab+5b^2m+4b^2)\geq 0$ $(1)$
Để cho $(1)$ luôn đúng thì $(a^2+abm+ab+5b^2m+4b^2)$ phải có nhân tử là $a-b$ thì tí nữa mới đưa về được: $(a-b)^2.f(a,b)\geq 0$, còn tùy vào $f(a,b)$ có dương không, nếu không dương thì thôi, phương pháp này loại.
Để có như vậy thì: PT: $a^2+abm+ab+5b^2m+4b^2=0$ có $1$ nghiệm là $a=b$
Thay vào được: $a^2+a^2m+a^2+5a^2m+4a^2=0$
$\Leftrightarrow 6a^2m=-6a^2$
$\Leftrightarrow m=-1$
Khi đó, $n=3-(-1)=4$
Giờ kiểm chứng lại bất đẳng thức $(1)$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2-ab+ab-5b^2+4b^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2-b^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2.(a+b)\geq 0$ (Ở đây $f(a,b)=a+b$ luôn dương nên làm được theo phương pháp này)
Luôn đúng, như vậy trình bày lời giải dựa vào bất đẳng thức sau:
$\sum\frac{19b^3-a^3}{5b^2+ab}\leq\sum (4b-a)$