Chủ đề này có 7 trả lời

[grigoriperelmanlapdi]

Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số

[Truong Gia Bao]

Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số

Đã có TẠI ĐÂY

[grigoriperelmanlapdi]

Đã có TẠI ĐÂY

bạn có biết tại sao bạn thosan145 biết cách xét $( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ) - ( a + b + c + d)$ đẻ tìm ra lời giải không chỉ mình với

[I Love MC]

$(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)$ chia hết cho 2  
Lại có $a^2+b^2+c^2+d^2=2(a^2+b^2)$ chia hết cho 2 
Suy ra $(a+b+c+d)$ chia hết cho $2$ tức $a+b+c+d$ là hợp số 

[Nxb]

bạn có biết tại sao bạn thosan145 biết cách xét $( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ) - ( a + b + c + d)$ đẻ tìm ra lời giải không chỉ mình với

Kĩ thuật đó không quan trọng lắm, để hiểu cái này thì em có thể thử thay 2 bởi p, và sau đó p bởi $p^n$. Em nên học lí thuyết đồng dư thì sẽ hiểu tại sao người ta cho đề bài như vậy. Ở đây người ta luôn biết một điều là $a=a^p$(mop p) với p nguyên tố nên đẳng thức trên tương đương a+b=-c-d(mod 2). khi đó thì $a+b+c+d=0$(mod 2). Trường hợp tổng quát sẽ hơi khác tí.

[phamngochung9a]

Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số

Một kết quả tổng quát : Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ là hợp số với mọi số nguyên dương $k$.

Giải

Vì $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ nên dễ cm $ab=cd$

Gọi $m$ là $ƯCLN$ của $a$ và $c$.

Đặt $a=a'.m;c=c'.m$ thì $\left ( a';c' \right )=1$

Ta có : $a'.m.b=c'.m.d\Rightarrow a'.b=c'.d\Rightarrow a'b\vdots c'$

Do $\left ( a';c' \right )=1$ nên $b\vdots c'$

Đặt $b=nc'$ thì thay vào đẳng thức $a'b=c'd$ ta có: $d=na'$

Từ đó:  

$a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}=a'^{k}.m^{k}+c'^{k}.n^{k}+c'^{k}.m^{k}+n^{k}.a'^{k}=a'^{k}(m^{k}+n^{k})+c'^{k}(m^{k}+n^{k})=(a'^{k}+c'^{k})(m^{k}+n^{k})$

Vì $a+b+c+d$ có 2 thừa số là $(a'^{k}+c'^{k})$ và $(m^{k}+n^{k})$ đều lớn hơn $1$ nên là hợp số

 

                       

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-07-2015 - 16:17

[Namthemaster1234]

Một kết quả tổng quát : Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ là hợp số với mọi số nguyên dương $k$.

Giải

Vì $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ nên dễ cm $ab=cd$

Gọi $m$ là $ƯCLN$ của $a$ và $c$.

Đặt $a=a'.m;c=c'.m$ thì $\left ( a';c' \right )=1$

Ta có : $a'.m.b=c'.m.d\Rightarrow a'.b=c'.d\Rightarrow a'b\vdots c'$

Do $\left ( a';c' \right )=1$ nên $b\vdots c'$

Đặt $b=nc'$ thì thay vào đẳng thức $a'b=c'd$ ta có: $d=na'$

Từ đó:  

$a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}=a'^{k}.m^{k}+c'^{k}.n^{k}+c'^{k}.m^{k}+n^{k}.a'^{k}=a'^{k}(m^{k}+n^{k})+c'^{k}(m^{k}+n^{k})=(a'^{k}+c'^{k})(m^{k}+n^{k})$

Vì $a+b+c+d$ có 2 thừa số là $(a'^{k}+c'^{k})$ và $(m^{k}+n^{k})$ đều lớn hơn $1$ nên là hợp số

 

                       

 

Chỗ tô đỏ sao cm được vậy anh

[phamngochung9a]

Chỗ tô đỏ sao cm được vậy anh

Nhầm tí  nếu đề bài cho $ab=cd$ thì mới cm đc