Chủ đề này có 7 trả lời

[Nhok Tung]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh : $\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq 1$

[Truong Gia Bao]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh : $\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq 1$

 

Ta có BĐT: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \frac{(x^2+2)^2}{4}$ với $x>0$

$VT=\sum\sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{b+c}{a} \right )^3}}\geq \sum\frac{2}{2+\frac{(b+c)^2}{a^2}}=\sum \frac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{2a^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 12-07-2015 - 19:30

[Hoang Nhat Tuan]

Ta có BĐT: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \frac{(x^2+2)^2}{4}$ với $x>0$

$VT=\sum\sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{b+c}{a} \right )^3}}\geq \frac{2}{2+\frac{(b+c)^2}{a^2}}=$\sum \frac{2a^2}{a^2+(b+c)^2}$\geq \sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1$

Mẫu số sai kìa, phải là $2a^2$ nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 12-07-2015 - 18:08

[Bui Ba Anh]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh : $\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq 1$

Mở rộng: $\sum \frac{a^3}{a^3+(a+b)^3} \geq \frac{1}{3}$

[hoanglong2k]

Mở rộng: $\sum \frac{a^3}{a^3+(a+b)^3} \geq \frac{1}{3}$

 Em nghĩ là nó chặt hơn chứ sao lại là mở rộng ạ ?

[Bui Ba Anh]

 Em nghĩ là nó chặt hơn chứ sao lại là mở rộng ạ ?

Anh nhầm, do quen miệng th , chú khắt khe quá

[Hoang Nhat Tuan]

Mở rộng: $\sum \frac{a^3}{a^3+(a+b)^3} \geq \frac{1}{3}$

Câu này em chứng minh một lần trên diễn đàn rồi, giờ làm lại

BĐT tương đương:

$\sum \frac{1}{1+(1+m)^3}\geq \frac{1}{3}$

Với $m=\frac{y}{x};n=\frac{z}{y};p=\frac{x}{z}$ khi đó thì $mnp=1$

Do đó tiếp tục đặt:$m=\frac{yz}{x^2}$ và n,p tương tự (nhác )

BĐT tương đương:

$\sum \frac{x^6}{x^6+(x^2+yz)^3}\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT C-S thì: $\sum \frac{x^6}{x^6+(x^2+yz)^3}\geq \frac{(\sum x^3)^2}{\sum (x^6+(x^2+yz)^3)}$

Ta sẽ chứng minh:$3(\sum x^3)^2\geq \sum (x^6+(x^2+yz)^3)$

$<=>\sum x^6+5\sum x^3y^3\geq 3xyz\sum x^3+9x^2y^2z^2$

Áp dụng AM-GM thì:

$\sum (x^6+x^3y^3+x^3y^3)\geq 3xyz\sum x^3$

Và $3\sum x^3y^3\geq 9x^2y^2z^2$

BĐT được chứng minh 

[Pham Dac Thanh 1998]

Có chuyên đề nào viết về đổi biến như bạn Hoang Nhat Tuan ko v