Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geqslant 4$

[KietLW9]

Sau khi thu gọn bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh: $a^5+b^5+c^5+a^4b+b^4c+c^4a\geqslant a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3+abc(ab+bc+ca)$

Đúng do: 

$5(a^5+b^5+c^5)=\sum_{cyc}^{}(a^5+a^5+b^5+b^5+b^5)\geqslant 5(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3)$

$\frac{a^3}{c}+\frac{b^3}{a}+\frac{c^3}{b}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}\geqslant ab+bc+ca\Rightarrow a^4b+b^4c+c^4a\geqslant abc(a+b+c)$

[Hoang72]

Bổ đề: $\sum_{cyc}\frac{a+b}{b+c}\geq \sum_{cyc}\frac{a}{b}$. (*)

Chứng minh: 

Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong $a,b,c$.

Ta có $(*)\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(b+c)(b+a)}\geq \frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}$, luôn đúng do $c\leq a$ và $c\leq b$.

Áp dụng ta có $VT\geq \sum_{cyc}\frac{a}{b}+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+\frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}-\frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 6-2=4$.