Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geqslant 4$
Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geqslant 4$
Sau khi thu gọn bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh: $a^5+b^5+c^5+a^4b+b^4c+c^4a\geqslant a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3+abc(ab+bc+ca)$
Đúng do:
$5(a^5+b^5+c^5)=\sum_{cyc}^{}(a^5+a^5+b^5+b^5+b^5)\geqslant 5(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3)$
$\frac{a^3}{c}+\frac{b^3}{a}+\frac{c^3}{b}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}\geqslant ab+bc+ca\Rightarrow a^4b+b^4c+c^4a\geqslant abc(a+b+c)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Bổ đề: $\sum_{cyc}\frac{a+b}{b+c}\geq \sum_{cyc}\frac{a}{b}$. (*)
Chứng minh:
Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong $a,b,c$.
Ta có $(*)\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(b+c)(b+a)}\geq \frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}$, luôn đúng do $c\leq a$ và $c\leq b$.
Áp dụng ta có $VT\geq \sum_{cyc}\frac{a}{b}+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+\frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}-\frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 6-2=4$.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh