Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $16 \sum a \geq \sum \frac{1}{a}$

Chứng minh rằng $\sum (\frac{1}{a+b+\sqrt{2(a+c}})^{3} \leq \frac{8}{9}$

[KietLW9]

Ta có: $16(a+b+c)\geqslant\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant16abc(a+b+c)\leqslant 16.\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}\Rightarrow ab+bc+ca\geqslant \frac{3}{16}\Rightarrow \frac{8}{9}\geqslant\frac{1}{6(ab+bc+ca)}$

Như vậy, ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}(\frac{1}{a+b+\sqrt{2(a+c)}})^3\leqslant \frac{1}{6(ab+bc+ca)}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $a+b+\sqrt{2(a+c)}=(a+b)+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}\Rightarrow (a+b+\sqrt{2(a+c)})^3\geqslant \frac{27(a+b)(a+c)}{2}\Rightarrow \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leqslant \frac{2}{27(a+b)(a+c)} $  

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum_{cyc}(\frac{1}{a+b+\sqrt{2(a+c)}})^3\leqslant \frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{4(a+b+c)}{27.\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{1}{6(ab+bc+ca)} (Q.E.D)$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 11-09-2021 - 14:15