Chủ đề này có 8 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ dương:

 

$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 14-07-2015 - 09:50

[Chung Anh]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ dương:

 

$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

 $\sum \frac{a^4}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum a^3.\sum a\geq \sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2\Leftrightarrow \sum a^3c\geq \sum a^2c^2\Leftrightarrow [3,0,1]\geq [2,0,2]$

 Đúng vì $(3,0,1)\succ (2,0,2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 14-07-2015 - 10:07

[Nguyen Minh Hai]

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

 $\sum \frac{a^4}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum a^3.\sum a\geq \sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2\Leftrightarrow \color{red}{\sum a^3c\geq \sum a^2c^2} \Leftrightarrow [3,0,1]\geq [2,0,2]$

 Đúng vì $(3,0,1)\succ (2,0,2)$

Chỗ màu đỏ này sai! Ví dụ thử với $a=9,b=5,c=1$ thì BĐT sai.

 

Spoiler

Chắc ko đơn giản như thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 14-07-2015 - 10:17

[dogsteven]

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

 $\sum \frac{a^4}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum a^3.\sum a\geq \sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2\Leftrightarrow \sum a^3c\geq \sum a^2c^2\Leftrightarrow [3,0,1]\geq [2,0,2]$

 Đúng vì $(3,0,1)\succ (2,0,2)$

Đọc lại định nghĩa trung bình loại $[a]$. Ta có $\dfrac{1}{6}\sum a^3c \ne [3,0,1]=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{sym} a^3c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 14-07-2015 - 10:23

[Hoang Nhat Tuan]

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

 $\sum \frac{a^4}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum a^3.\sum a\geq \sum a^4+\sum a^3b+\sum a^2b^2\Leftrightarrow \sum a^3c\geq \sum a^2c^2\Leftrightarrow [3,0,1]\geq [2,0,2]$

 Đúng vì $(3,0,1)\succ (2,0,2)$

Đoạn này vô lý quá:

$\sum a^3c\geq \sum a^2c^2<=>\left [ 3,0,1 \right ]\geq \left [ 2,0,2 \right ]$

[dogsteven]

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\geqslant \dfrac{3abc}{a+b+c}$

Theo Cauchy-Schwarz: $\left(\sum \dfrac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\right)\left(\sum \dfrac{a^2+ab+b^2}{ab}\right)\geqslant (a+b+c)^2$

Do đó ta cần chứng minh: $(a+b+c)^2\geqslant \dfrac{3abc}{a+b+c}\sum \dfrac{a^2+ab+b^2}{ab}$

Đây là bất đẳng thức đối xứng bậc thấp. Biến đổi tương đương có thể được hoặc pqr chắc cũng ăn.

[dogsteven]

Bài này không thể Cauchy-Schwarz như bạn Chung Anh vì có điểm rơi là $a=0, \dfrac{b}{c}\to +\infty$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 14-07-2015 - 10:47

[Nguyen Minh Hai]

Bất đẳng thức tương đương với: $\color{red}{\sum \dfrac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\geqslant \dfrac{3abc}{a+b+c}}$

Theo Cauchy-Schwarz: $\left(\sum \dfrac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\right)\left(\sum \dfrac{a^2+ab+b^2}{ab}\right)\geqslant (a+b+c)^2$

Do đó ta cần chứng minh: $(a+b+c)^2\geqslant \dfrac{3abc}{a+b+c}\sum \dfrac{a^2+ab+b^2}{ab}$

Đây là bất đẳng thức đối xứng bậc thấp. Biến đổi tương đương có thể được hoặc pqr chắc cũng ăn.

Sao có đoạn này thế?  

[dogsteven]

Sao có đoạn này thế?  

$\sum \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+\dfrac{3abc}{a+b+c}$

$\sum \left(\dfrac{a^4}{a^2+ab+b^2}+ab-a^2\right)=\sum \dfrac{ab^3}{a^2+ab+b^2}$