Chủ đề này có 2 trả lời

[vda2000]

1/ Chứng minh tồn tại $n$ chẵn; $n>2008$ sao cho: $2009.n-49$ là số chính phương.

2/ Chứng minh không tồn tại $m$ sao cho $2009.m-147$ là số chính phương

 

Đôi điều thắc mắc

Em mới sang THPT và không biết đăng bài này vào chủ đề gì, mong các mod chỉ giúp. 2 bài trên giải theo phương pháp đồng dư, hệ thặng dư càng tốt

[dogsteven]

Bài 1.

Ta có $\left(-1\right)^{\frac{41-1}{2}}=1$ nên $-1$ là số chính phương modulo 41

Vậy phương trình  $x^2+1\equiv 0\pmod{41}$ luôn có nghiệm nên tồn tại $a, n$ sao cho $41n-1=a^2$

Chọn $x=7a$ ta được: $x^2=2009n-49$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 14-07-2015 - 16:19

[dogsteven]

Bài 2. Giả sử tồn tại $m$ sao cho $2009m-147$ là số chính phương.

Khi đó đặt $x^2=2009m-147$ thì $7\mid x$ nên đặt $x=7a$. Khi đó $a^2=41m-3\equiv -3\pmod{41}$ hay $-3$ là số chính phương modulo 41

Tuy nhiên $\left(-3\right)^{\frac{41-1}{2}}\equiv 81^{5}\equiv -1\pmod{41}$ nên $-3$ không phải là số chính phương modulo 41

Vậy không tồn tại $m$