5 replies to this topic

[Nguyen Minh Hai]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

[hoanglong2k]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \frac{a}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}$

 Nên ta cần chứng minh 

 $\frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}$

 $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}-1\geq \sum \left ( \frac{ab}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{3} \right )$

 $\Leftrightarrow -\frac{\sum (a-b)^2}{4\sum a^2+2\sum ab}\geq -\sum \frac{(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left ( \frac{1}{3a^2+3ab+3b^2}-\frac{1}{4\sum a^2+2\sum ab} \right )\geq 0$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $4\sum a^2+2\sum ab\geq 3(a^2+b^2+ab)\Leftrightarrow a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq ab$

 Mà theo AM-GM $a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq 2ab+4c^2+ac+bc>ab$

 Nên ta có điều cần chứng minh

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

[dogsteven]

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \frac{a}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}$

 Nên ta cần chứng minh 

 $\frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}$

 $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}-1\geq \sum \left ( \frac{ab}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{3} \right )$

 $\Leftrightarrow -\frac{\sum (a-b)^2}{4\sum a^2+2\sum ab}\geq -\sum \frac{(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left ( \frac{1}{3a^2+3ab+3b^2}-\frac{1}{4\sum a^2+2\sum ab} \right )\geq 0$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $4\sum a^2+2\sum ab\geq 3(a^2+b^2+ab)\Leftrightarrow a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq ab$

 Mà theo AM-GM $a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq 2ab+4c^2+ac+bc>ab$

 Nên ta có điều cần chứng minh

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{2b}{2b+a}=3-\sum \dfrac{a}{2b+a}\leqslant 3-\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=2 \\ \Rightarrow  \sum \dfrac{b}{2b+a}\leqslant 1\Rightarrow \sum \dfrac{a}{2a+b}\geqslant \sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)-1$$

Vậy là ta cần chứng minh:

$$\sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)\geqslant \sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}-1$$

Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức: $$\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\geqslant \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+4ab}{(2a+b)(2b+a)}\geqslant \dfrac{a^2+b^2+4ab}{3(a^2+ab+b^2)}\Leftrightarrow (a-b)^2\geqslant 0$$

[hoanglong2k]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{2b}{2b+a}=3-\sum \dfrac{a}{2b+a}\leqslant 3-\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=2 \\ \Rightarrow  \sum \dfrac{b}{2b+a}\leqslant 1\Rightarrow \sum \dfrac{a}{2a+b}\geqslant \sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)-1$$

Vậy là ta cần chứng minh:

$$\sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)\geqslant \sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}-1$$

Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức: $$\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\geqslant \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+4ab}{(2a+b)(2b+a)}\geqslant \dfrac{a^2+b^2+4ab}{3(a^2+ab+b^2)}\Leftrightarrow (a-b)^2\geqslant 0$$

 Ta có :

 $\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leq \sum \frac{a}{2a+b}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}}\leq \sum \frac{1}{2+\frac{b}{a}}$

 Đổi biến $\left ( \frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a} \right )=(x,y,z)\rightarrow xyz=1$

 Ta cần chứng minh 

 $\sum \frac{1}{2+yz}\geq \sum \frac{1}{yz+x+1}$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{x-1}{(2+yz)(yz+x+1)}\geq 0$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{x^2(x-1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}\geq 0$

 Ta chứng minh $\sum \frac{x^2(x-1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}\geq \sum \frac{x-1}{3(x+2)}$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{(x-1)^2(x^2+4x+1)}{(2x+1)(x^2+x+1)(z+2)}\geq 0$

 Nên chỉ việc chỉ ra $\sum \frac{x-1}{x+2}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+2}\leq 1$ 

 Đây là kết quả quen thuộc, biến đổi tương đương hoặc Cauchy-Schwarz

[Thao Huyen]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

$\sum (\frac{1}{3}-\frac{ab}{a^2+ab+b^2})+\sum \frac{a}{2a+b}=\sum \frac{(a-b)^2}{3.(a^2+ab+b^2)}+\sum \frac{a^2}{2a^2+ab}\geqslant \frac{\frac{4}{3}.(a-c)^2+(a+b+c)^2}{2.\sum a^2+\sum ab}\leqslant 1(true)$

[Nicky Lazy]