Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:
$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:
$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:
$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$\sum \frac{a}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}$
Nên ta cần chứng minh
$\frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}-1\geq \sum \left ( \frac{ab}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{3} \right )$
$\Leftrightarrow -\frac{\sum (a-b)^2}{4\sum a^2+2\sum ab}\geq -\sum \frac{(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left ( \frac{1}{3a^2+3ab+3b^2}-\frac{1}{4\sum a^2+2\sum ab} \right )\geq 0$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $4\sum a^2+2\sum ab\geq 3(a^2+b^2+ab)\Leftrightarrow a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq ab$
Mà theo AM-GM $a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq 2ab+4c^2+ac+bc>ab$
Nên ta có điều cần chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$\sum \frac{a}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}$
Nên ta cần chứng minh
$\frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}-1\geq \sum \left ( \frac{ab}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{3} \right )$
$\Leftrightarrow -\frac{\sum (a-b)^2}{4\sum a^2+2\sum ab}\geq -\sum \frac{(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left ( \frac{1}{3a^2+3ab+3b^2}-\frac{1}{4\sum a^2+2\sum ab} \right )\geq 0$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $4\sum a^2+2\sum ab\geq 3(a^2+b^2+ab)\Leftrightarrow a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq ab$
Mà theo AM-GM $a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq 2ab+4c^2+ac+bc>ab$
Nên ta có điều cần chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum \dfrac{2b}{2b+a}=3-\sum \dfrac{a}{2b+a}\leqslant 3-\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=2 \\ \Rightarrow \sum \dfrac{b}{2b+a}\leqslant 1\Rightarrow \sum \dfrac{a}{2a+b}\geqslant \sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)-1$$
Vậy là ta cần chứng minh:
$$\sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)\geqslant \sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}-1$$
Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức: $$\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\geqslant \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+4ab}{(2a+b)(2b+a)}\geqslant \dfrac{a^2+b^2+4ab}{3(a^2+ab+b^2)}\Leftrightarrow (a-b)^2\geqslant 0$$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum \dfrac{2b}{2b+a}=3-\sum \dfrac{a}{2b+a}\leqslant 3-\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=2 \\ \Rightarrow \sum \dfrac{b}{2b+a}\leqslant 1\Rightarrow \sum \dfrac{a}{2a+b}\geqslant \sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)-1$$
Vậy là ta cần chứng minh:
$$\sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)\geqslant \sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}-1$$
Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức: $$\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\geqslant \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+4ab}{(2a+b)(2b+a)}\geqslant \dfrac{a^2+b^2+4ab}{3(a^2+ab+b^2)}\Leftrightarrow (a-b)^2\geqslant 0$$
Ta có :
$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leq \sum \frac{a}{2a+b}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}}\leq \sum \frac{1}{2+\frac{b}{a}}$
Đổi biến $\left ( \frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a} \right )=(x,y,z)\rightarrow xyz=1$
Ta cần chứng minh
$\sum \frac{1}{2+yz}\geq \sum \frac{1}{yz+x+1}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x-1}{(2+yz)(yz+x+1)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x^2(x-1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}\geq 0$
Ta chứng minh $\sum \frac{x^2(x-1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}\geq \sum \frac{x-1}{3(x+2)}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(x-1)^2(x^2+4x+1)}{(2x+1)(x^2+x+1)(z+2)}\geq 0$
Nên chỉ việc chỉ ra $\sum \frac{x-1}{x+2}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+2}\leq 1$
Đây là kết quả quen thuộc, biến đổi tương đương hoặc Cauchy-Schwarz
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:
$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$
$\sum (\frac{1}{3}-\frac{ab}{a^2+ab+b^2})+\sum \frac{a}{2a+b}=\sum \frac{(a-b)^2}{3.(a^2+ab+b^2)}+\sum \frac{a^2}{2a^2+ab}\geqslant \frac{\frac{4}{3}.(a-c)^2+(a+b+c)^2}{2.\sum a^2+\sum ab}\leqslant 1(true)$
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh