Chủ đề này có 3 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xyz=1$ và số tự nhiên $a\geq1$

Chứng minh rằng :  $\sum \frac{x^{a}}{y+z} \geq \frac{3}{2}$

[dogsteven]

Bài toán mở rộng ra cho số thực $a\geqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev và Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \left(x^a+y^a+z^a\right)\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}\right)\geqslant \dfrac{x^{a-1}+y^{a-1}+z^{a-1}}{2}\geqslant \dfrac{3}{2}$

[HoangVienDuy]

Áp dụng AM-GM ta có : 

$\frac{2x^{a}}{y+z}+\frac{y+z}{2}+1+1...+1\geq a\sqrt[a]{x^{a}}=ax$ ( a-2 số 1)

thiết lập các bđt tương tự ta được:

$2\sum \frac{x^{a}}{y+z}+(x+y+z)+3(a-2)\geq a(x+y+z)$

$\Leftrightarrow 2\sum \frac{x^{a}}{y+z}\geq (a-1)(x+y+z)-3a+6\geq 3a-3-3a+6=3\Rightarrow \sum \frac{x^{a}}{y+z}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 15-07-2015 - 09:29

[Hoang Nhat Tuan]

Ta sẽ chứng minh BĐT sau: $\frac{a^a}{b+c}+\frac{b^a}{c+a}+\frac{c^a}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{a-1}}{2.3^{a-2}}$

Với $a=1$ thì BĐT hiển nhiên đúng

Giả sử với $a=n-1$ thì $\frac{a^{n-1}}{b+c}+\frac{b^{n-1}}{a+c}+\frac{c^{n-1}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{n-2}}{2.3^{n-3}}$

Ta sẽ chứng minh với $a=n$ thì BĐT đúng

Giả sử $a\geq b\geq c$

Áp dụng BĐT Chebyshev thì:

$\frac{a.a^{n-1}}{b+c}+\frac{b.b^{n-1}}{a+c}+\frac{c.c^{n-1}}{a+b}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(\frac{a^{n-1}}{b+c}+\frac{b^{n-1}}{a+c}+\frac{c^{n-1}}{a+b})$

$\geq \frac{(a+b+c)^{n-2}}{2.3^{n-2}}.(a+b+c)$

$=\frac{(a+b+c)^{n-1}}{2.3^{n-2}}$

Từ đó dễ dàng chứng minh tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 15-07-2015 - 10:07