Chủ đề này có 3 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương . Chứng minh rằng

$\sqrt{\sum a^{4}} + \sqrt{\sum a^{2}b^{2}} \geq \sqrt{\sum a^{3}b} + \sqrt{\sum ab^{3}}$

[dogsteven]

Bất đẳng thức này là bất đẳng thức hệ quả của: $\sqrt{a^4+b^4+c^4}+r\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geqslant (1+r)\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}$

[dogsteven]

Bình phương hai vế, bất đẳng thức trở thành:

$\sum x^4+\sum x^2y^2+2\sqrt{\sum x^4\sum x^2y^2}\geqslant \sum\limits_{sym}x^3y +2\sqrt{\sum x^3y \sum xy^3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $2\sqrt{\sum x^4\sum x^2y^2}\geqslant \sum\limits_{sym} x^3y$

Do đó ta cần chứng minh: $\sum x^4+\sum x^2y^2\geqslant 2\sqrt{\sum x^3y \sum xy^3}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $VT\geqslant 2\sqrt{\sum x^4\sum x^2y^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sqrt{\sum x^4\sum x^2y^2}\geqslant \text{max}\{\sum x^3y, \sum xy^3\}$

Vậy là ta có điều phải chứng minh.

 

Bất đẳng thức này là bất đẳng thức hệ quả của: $\sqrt{a^4+b^4+c^4}+r\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geqslant (1+r)\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-07-2015 - 11:20

[Hoang Nhat Tuan]

Không mất tính tổng quát ta giả sử: max {$a^3b+b^3c+c^3a,ab^3+bc^3+ca^3$}=$a^3b+b^3c+c^3a$

Khi đó ta cần chứng minh:

$\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 2\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}$

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-schwarz thì:

$\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 2\sqrt[4]{(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\geq 2\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}$

Từ đó => ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 15-07-2015 - 10:42