Chủ đề này có 4 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$

Chứng minh rằng : $a^{4}+b^{4} \geq a^{3}+b^{3}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$

Chứng minh rằng : $a^{4}+b^{4} \geq a^{3}+b^{3}$

Giả sử $a\geq b$ khi đó áp dụng BĐT Chebyshev ta thu được:

$a^4+b^4\geq\frac{1}{2} (a+b)(a^3+b^3)=a^3+b^3$

[HoangVienDuy]

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$

Chứng minh rằng : $a^{4}+b^{4} \geq a^{3}+b^{3}$

$2(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)(a^{3}+b^{3})\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq a^{4}+b^{4}+ab(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}\geq ab(a^{2}+b^{2})$

Mà $a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}=ab(a^{2}+b^{2})$

=>đpcm

[phamquanglam]

Ta có: $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{3}+b^{3})^{2}$

 

$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}$

$(a^{2}+b^{2})(1+1)\geq (a+b)^{2}$

Nhân các vế vào: $2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$

[Hoangtheson2611]

Ta có : Giả sử $a^{4}+b^{4}\geqslant a^{3}+b^{3}$ 

=> $a^{4}+b^{4}+a^{3}+b^{3}+a^{2}+b^{2}\geqslant 2a^{3}+2b^{3}+a^{2}+b^{2} => (a^{2}-a)^{2}+(b^{2}-b)^{2}+a^{3}+b^{3}\geqslant a^{2}+b^{2}$

=>$(a^{2}-a)^{2}+(b^{2}-b)^{2}+a^{3}+b^{3}+a^{2}+b^{2}+a+b\geqslant 2a^{2}+2b^{2}+2=>(a^{2}-a)^{2}+(b^{2}-b)^{2}+(a\sqrt{a}-\sqrt{a})^{2}+(b\sqrt{b}+\sqrt{b})^{2}+a^{2}+b^{2}\geqslant 2$( luôn đúng do $a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{2}=2$)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1