Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$
Chứng minh rằng : $a^{4}+b^{4} \geq a^{3}+b^{3}$
Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$
Chứng minh rằng : $a^{4}+b^{4} \geq a^{3}+b^{3}$
Giả sử $a\geq b$ khi đó áp dụng BĐT Chebyshev ta thu được:
$a^4+b^4\geq\frac{1}{2} (a+b)(a^3+b^3)=a^3+b^3$
Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$
Chứng minh rằng : $a^{4}+b^{4} \geq a^{3}+b^{3}$
$2(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)(a^{3}+b^{3})\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq a^{4}+b^{4}+ab(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}\geq ab(a^{2}+b^{2})$
Mà $a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}=ab(a^{2}+b^{2})$
=>đpcm
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
Ta có: $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{3}+b^{3})^{2}$
$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}$
$(a^{2}+b^{2})(1+1)\geq (a+b)^{2}$
Nhân các vế vào: $2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Ta có : Giả sử $a^{4}+b^{4}\geqslant a^{3}+b^{3}$
=> $a^{4}+b^{4}+a^{3}+b^{3}+a^{2}+b^{2}\geqslant 2a^{3}+2b^{3}+a^{2}+b^{2} => (a^{2}-a)^{2}+(b^{2}-b)^{2}+a^{3}+b^{3}\geqslant a^{2}+b^{2}$
=>$(a^{2}-a)^{2}+(b^{2}-b)^{2}+a^{3}+b^{3}+a^{2}+b^{2}+a+b\geqslant 2a^{2}+2b^{2}+2=>(a^{2}-a)^{2}+(b^{2}-b)^{2}+(a\sqrt{a}-\sqrt{a})^{2}+(b\sqrt{b}+\sqrt{b})^{2}+a^{2}+b^{2}\geqslant 2$( luôn đúng do $a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{2}=2$)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh