Chủ đề này có 3 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$

b) $\frac{5b^2-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\frac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\leq a+b+c$

[Nhok Tung]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$

b) $\frac{5b^2-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\frac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\leq a+b+c$

a) Ta có $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\geq (a+b)^{3}-\frac{3(a+b)^{3}}{4}=\frac{(a+b)^{3}}{4}\Rightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}\Rightarrow$\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}\geq a+b$

Tương tự rồi cộng vế theo vế của các BĐT ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 19-07-2015 - 13:54

[Nhok Tung]

b) Thay a =b=c =0,5 thì BĐT sai    

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$

b) $\frac{5b^2-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\frac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\leq a+b+c$

Có thể làm câu $a$ bằng cách áp dụng mỗi BĐT này $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ với $x,y\geq 0$

Ta có

$VT=\sum \sqrt[3]{a^3+b^3+3(a^3+b^3)}\geq \sum \sqrt[3]{a^3+b^3+3ab(a+b)}=\sum \sqrt[3]{(a+b)^3}=2(a+b+c)$