Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $xf(x+xy)=xf(x)+f(x^2)f(y)\;\;\forall x,y\in\mathbb{R}$

[Dung Du Duong]

Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $xf(x+xy)=xf(x)+f(x^2)f(y)\;\;\forall x,y\in\mathbb{R}$

Bài này có bạn Bichess đăng rồi mà 

http://diendantoanho...-xfxxyxfxf2xfy/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 19-07-2015 - 20:07

[Zaraki]

Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $xf(x+xy)=xf(x)+f(x^2)f(y)\;\;\forall x,y\in\mathbb{R} \qquad (1)$

Lời giải. Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $(1)$. 

$P(0,y) \Rightarrow f(0)f(y)=0$. Ta suy ra $f(0)=0$.

$P(x,-1) \Rightarrow xf(x)+f(x^2)f(-1)=0. \qquad (2)$

Thay $x=1$ vào $(2)$ ta có $f(1) \left( f(-1)+1 \right) =0$. Do đó $f(1)=0$ hoặc $f(-1)=-1$.

 

Nếu $f(1)=0$ thì $P(1,y) \Rightarrow f(y+1)=0$ hay $\boxed{f(x)=0, \; \forall x \in \mathbb{R}}$.

 

Nếu $f(-1)=-1$ thì từ $(2)$ suy ra $f(x^2)=xf(x)$. Từ đây thay $x=-1$ ta thu được $f(1)=1$.

$P(1,y) \Rightarrow f(y+1)=1+f(y). \qquad (3)$

Vì $f(x^2)=xf(x)$ nên $(1)$ tương đương với $f(x+xy)=f(x)+f(x)f(y). \qquad (4)$

Giả sử $Q(x,y)$ là tính chất của $(4)$ thì $Q(x,x+1) \Rightarrow f(x^2+2x)=f(x) \left( f(x)+2 \right)$.

Áp dụng $(3)$ ta có $f((x+1)^2)=f(x^2+2x)+1=f(x)^2+2f(x)+1$.

Mặt khác $f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+1)$.

Như vậy $(x+1)(f(x)+1)=f(x)^2+2f(x)+1 \Leftrightarrow \left( f(x)-x \right) \left( f(x)+1 \right)=0$. Do đó $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-1, \; \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thì chỉ có $\boxed{f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}}$ thoả mãn.