Chủ đề này có 4 trả lời

[LeHKhai]

Cho các số không âm $a$, $b$, $c$ có tổng bằng $2$ và tổng hai số bất kì không nhỏ hơn số còn lại.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4\left ( a^3+b^3+c^3 \right )+15abc$

[Truong Gia Bao]

$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(2-2c)(2-2a)(2-2b) $

$\Rightarrow 27abc \geq 24(ab+bc+ca)-24$

$\Rightarrow A=4\left [ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc \right ]+15abc$

$=8(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+27abc$ $\geq 8(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+24(ab+bc+ca)-24=8(a+b+c)^2-24 \geq 8$

[hoanglong2k]

Cho các số không âm $a$, $b$, $c$ có tổng bằng $2$ và tổng hai số bất kì không nhỏ hơn số còn lại.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4\left ( a^3+b^3+c^3 \right )+15abc$

 Áp dụng BĐT Schur ta có :

 $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)\Leftrightarrow 4\sum a^3+15abc\geq \sum a^3+3\sum ab(a+b)+3abc=(a+b+c)^3$

 $\Rightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq 8$

[LeHKhai]

$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(2-2c)(2-2a)(2-2b) $

$\Rightarrow 27abc \geq 24(ab+bc+ca)-24$

$\Rightarrow A=4\left [ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc \right ]+15abc$

$=8(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+27abc$ $\geq 8(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+24(ab+bc+ca)-24=8(a+b+c)^2-24 \geq 8$

 Áp dụng BĐT Schur ta có :

 $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)\Leftrightarrow 4\sum a^3+15abc\geq \sum a^3+3\sum ab(a+b)+3abc=(a+b+c)^3$

 $\Rightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq 8$

đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{2}{3}$ hoặc $(a; b; c) = (1; 1; 0)$ và các hoán vị nhỉ? ~~

[hoanglong2k]

Cho các số không âm $a$, $b$, $c$ có tổng bằng $2$ và tổng hai số bất kì không nhỏ hơn số còn lại.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4\left ( a^3+b^3+c^3 \right )+15abc$

 Ta có :

 $P=4a^3+4(b+c)^3-12bc(b+c)+15abc=4a^3+4(2-a)^3+bc(27a-24)$

     $=24a^2-48a+32+bc(27a-24)$

 Giả sử $a=\min\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow a\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]\Rightarrow 27a\leq 18<24$

 $\Rightarrow P\geq 24a^2-48a+32+\frac{(b+c)^2}{4}.(27a-24)=24a^2-48a+32+\frac{(2-a)^2}{4}.(27a-24)=\frac{27a^3-36a^2+12a+32}{4}$

 Xét hàm $f(a)=\frac{27a^3-36a^2+12a+32}{4}$ trên $\left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ là ra

 

 

đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{2}{3}$ hoặc $(a; b; c) = (1; 1; 0)$ và các hoán vị nhỉ? ~~

 Ừ, nhưng nếu không có điều kiện ban đầu thì dấu bằng còn xảy ra tại $(a,b,c)=(2,0,0)$ và hoán vị nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 19-07-2015 - 19:20