9 replies to this topic

[thanhnam2000]

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

[arsfanfc]

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

ÁP dụng$ Cauchy-schwarz :$

$\sum \frac{1}{1+bc} \geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \frac{9}{3+ \frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

[Nhok Tung]

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

Edited by Nhok Tung, 20-07-2015 - 08:21.

[thanhnam2000]

ÁP dụng$ Cauchy-schwarz :$

$\sum \frac{1}{1+bc} \geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \frac{9}{3+ \frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

 

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

Hai anh làm sai hết.

 Nếu như thế thì cần cm:

        

            $\frac{9}{2\sum \sqrt{a}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$

 Mà điều này sai do: $\sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3(\sum a)}=3$.

[arsfanfc]

Hai anh làm sai hết.

 Nếu như thế thì cần cm:

        

            $\frac{9}{2\sum \sqrt{a}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$

 Mà điều này sai do: $\sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3(\sum a)}=3$.

Nhầm

Edited by arsfanfc, 20-07-2015 - 12:52.

[cuteoqb]

bạn giải thích rõ chút đi

[cuteoqb]

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

bạn chứng minh $\frac{3}{2}\geqslant \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$ giúp mình đi

[Hoang Nhat Tuan]

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

 

ÁP dụng$ Cauchy-schwarz :$

$\sum \frac{1}{1+bc} \geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \frac{9}{3+ \frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

 

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

 

bạn chứng minh $\frac{3}{2}\geqslant \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$ giúp mình đi

Lời giải:

Ta có:$VT=3-\sum \frac{bc}{1+bc}\geq 3-\sum \frac{\sqrt{bc}}{2}$

Cần chứng minh: $6-\sum bc\geq \frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

$<=>3-\sum \sqrt{ab}\geq \frac{3(3-\sum \sqrt{a})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

$<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3)(3-\sum \sqrt{ab})\geq 3(9-(\sum \sqrt{a})^2)$

$<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3)(3-\sum \sqrt{ab})\geq 6(3-\sum \sqrt{ab})$

Dễ thấy: $\sum \sqrt{ab}\leq a+b+c=3$

Với $\sum \sqrt{ab}=3$ thì BĐT đúng

Nếu $\sum \sqrt{ab}<3$ cần chứng minh:$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3)\geq 6$

$<=>x^2+3x-6\geq 0$ ( với $x=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ )

Cần chứng minh: $x\geq \frac{\sqrt{33}-3}{2}$ (đúng vì $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt{a+b+c}=\sqrt{3}> \frac{\sqrt{33}-3}{2}$)

BĐT được chứng minh 

Edited by Hoang Nhat Tuan, 20-07-2015 - 12:03.

[cuteoqb]

các bạn chứng minh dùm bài này 

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn  a+b+c=3. chứng minh rằng

$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

[Dinh Xuan Hung]

các bạn chứng minh dùm bài này 

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn  a+b+c=3. chứng minh rằng

$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Ta có:$\frac{a}{b^2+1}=\frac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

CMTT:$\frac{b}{c^2+1}\geq b-\frac{bc}{2}$

$\frac{c}{a^2+1}\geq c-\frac{ac}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^2+1}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq a+b+c-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$