Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2$. Tìm GTNN của $A=\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}$
Tìm GTNN của $A=\sum \frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}$
#1
Đã gửi 20-07-2015 - 15:13
#2
Đã gửi 20-07-2015 - 15:24
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2$. Tìm GTNN của $A=\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}$
$gt\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\geqslant 1$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geqslant 1;A=LHS=\sum \frac{z^3}{x^2+y^2}$ (đặt: $1/a=x$)
Không mất tính tổng quát, giả sử: $x\geqslant y\geqslant z> 0\Rightarrow A\geqslant ^{Chebyshev}\frac{1}{3}.\sum x^3.\sum \frac{1}{y^2+z^2}$
Dùng $AM-GM$ nữa là xong :v
- yeudiendanlamlam yêu thích
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
#3
Đã gửi 20-07-2015 - 16:04
ta có a2b2+b2c2+c2a2$\geq$$a^2b^2c^2$ do đó $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1$
đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ do đó$x^2+y^2+z^2=1$
và P=$\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{y^2+x^2}$=$\frac{x^4}{x(y^2+z^2)}+\frac{y^4}{y(z^2+x^2)}+\frac{z^4}{z(x^4+y^4)}$
ta có $x(y^2+z^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x^2}.\sqrt{y^2+z^2}.\sqrt{y^2+z^2}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{(2x^2+2y^2+2z^2)^3}{27}}\geq \frac{2}{\sqrt{27}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}$
chứng minh tương tự suy ra $x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)\leq \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$ nên P$\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luukhaiuy: 20-07-2015 - 16:11
- yeudiendanlamlam yêu thích
#4
Đã gửi 20-07-2015 - 16:24
ta có a2b2+b2c2+c2a2$\geq$$a^2b^2c^2$ do đó $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1$
đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ do đó$x^2+y^2+z^2=1$
và P=$\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{y^2+x^2}$=$\frac{x^4}{x(y^2+z^2)}+\frac{y^4}{y(z^2+x^2)}+\frac{z^4}{z(x^4+y^4)}$
ta có $x(y^2+z^2)=$$\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x^2}.\sqrt{y^2+z^2}.\sqrt{y^2+z^2}$$\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{(2x^2+2y^2+2z^2)^3}{27}}\geq \frac{2}{\sqrt{27}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}$
chứng minh tương tự suy ra $x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)\leq \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$ nên P$\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
cho mình hỏi cách tách như trên có sử dụng phương pháp nào không hay dùng tư duy để tách vậy
#5
Đã gửi 21-07-2015 - 00:41
ta có a2b2+b2c2+c2a2$\geq$$a^2b^2c^2$ do đó $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1$
đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ do đó$x^2+y^2+z^2=1$
và P=$\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{y^2+x^2}$=$\frac{x^4}{x(y^2+z^2)}+\frac{y^4}{y(z^2+x^2)}+\frac{z^4}{z(x^4+y^4)}$
ta có $x(y^2+z^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x^2}.\sqrt{y^2+z^2}.\sqrt{y^2+z^2}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{(2x^2+2y^2+2z^2)^3}{27}}\geq \frac{2}{\sqrt{27}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}$
chứng minh tương tự suy ra $x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)\leq \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$ nên P$\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
-Dòng thứ 4 của bạn viết ngược dấu rồi kìa, bạn sửa lại đi.
- yeudiendanlamlam yêu thích
#6
Đã gửi 21-07-2015 - 08:12
cho mình hỏi cách tách như trên có sử dụng phương pháp nào không hay dùng tư duy để tách vậy
Có lẽ là tư duy
- yeudiendanlamlam yêu thích
Khoảnh khắc bạn đang thực sự sống chính là khoảnh khắc của hiện tại. Đó là thời điểm duy nhất mà bạn có quyền và có thể kiểm soát mọi thứ. “Ngày hôm qua đã là lịch sử, ngày mai vẫn còn là điều bí ẩn, chỉ có hôm nay mới là một món quà, đó là lý do vì sao chúng ta gọi hiện tại là quà tặng của cuộc sống”. Hãy bắt đầu bằng cách cảm nhận những điều tốt đẹp ngay vào lúc này, bạn sẽ có được những giây phút tươi sáng và tràn đầy niềm vui trong tương lai.
PHẠM VĂN LẠC
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh