Chủ đề này có 4 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ac}}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 21-07-2015 - 20:13

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4
{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ac}}\geq 3$

Đặt $k=\sum \sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}$,ta có:
$k \geq \frac{2(a+b+c)^2}{\sum \sqrt{2(1+ab)}}$ (bđt Cauchy-Schwarz)
Đặt $i^2=\frac{2(a+b+c)^2}{(\sum \sqrt{2(1+ab)})^2}$
Lại có $(\sum \sqrt{2(1+ab)})^2\leq 18+2(a+b+c)^2\Rightarrow i^2\geq \frac{2(a+b+c)^2}{18+2(a+b+c)^2}$
Ta có:
$\frac{1}{i^2}\leq \frac{9}{(a+b+c)^2}+1\leq \frac{9}{9}+1=2$
$\Rightarrow i\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow k=i.\sqrt{2}(a+b+c)\geq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 21-07-2015 - 22:55

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ac}}\geq 3$

Ta có: $\sum \sqrt{\frac{2(a^4+b^4)}{2(1+ab)}}\geq \sum \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2(1+ab)}}=\sum (\frac{a^2}{\sqrt{2(1+ab)}}+\frac{b^2}{\sqrt{2(1+ab)}})$

$\geq \frac{4(a+b+c)^2}{2\sum \sqrt{2(1+ab)}}$

$=\frac{2(a+b+c)^2}{\sum \sqrt{2(1+ab)}}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{ \sqrt{6(3+ab+bc+ca)}}$

$\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{\sqrt{18+6(ab+bc+ca)}}$

Đến đây đặt: $6(ab+bc+ca)=x$ thì $x\geq 18$

Từ đó biến đổi tương đương cũng được

[congdan9aqxk]

Ta $\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2ab(1+c)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{1+c}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2(1+c)}$

nên bđt P=$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{\sqrt{2(1+c)}}\geq 3$

GS $a\geq b\geq c$.áp dung chebyshev,có

P $\geq \frac{1}{3}2(a+b+c)(\sum \frac{1}{\sqrt{2(c+1)}})\geq \frac{2}{3}(a+b+c)\frac{9}{\sum \sqrt{2(1+c)}}$

mà theo cauchy-schwarz có $\sum \sqrt{2(1+c)}\leq \sqrt{6}\sqrt{a+b+c+3}$

nên P$\geq \frac{\sqrt{6}t}{\sqrt{t+3}}$

$P\geq 3\Leftrightarrow \frac{2t^{2}}{t+3}\geq 3\Leftrightarrow (t-3)(2t+3)\geq 0$

Để ý là $t\geq 3$ nữa là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdan9aqxk: 22-07-2015 - 14:00

[Riann levil]

$\sum \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}\geq \sum \sqrt{\frac{2a^{2}b^{2}}{1+ab}}$

đặt $(ab,bc,ca)=(x,y,z)$ ta có $xyz=1$

BĐT cần cm trở thành  $\sum \sqrt{\frac{2x^{2}}{x+1}}$$\geq 3$

$\sum \sqrt{\frac{2x^{2}}{x+1}}$$=\sum \frac{2x}{\sqrt{2(x+1)}}\geq \sum \frac{4x}{x+3}$

Giờ chỉ cần cm $\sum \frac{x}{x+3}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+3yz}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow 12 +9(x+y+z)+15(xy+yz+zx)\geq 84$ ( ĐÚNG theo AM-GM)

VẬY BĐT đc cm ( Dấu bằng xảy ra  khi a=b=c=1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Riann levil: 22-07-2015 - 15:51