Chủ đề này có 3 trả lời

[Toanthinh108]

Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi: $a_1=1.2.3, a_2=2.3.4, ... , a_n=n(n+1)(n+2)$.

Đặt $S_n=a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh rằng $4S_n+1$ là số chính phương.

[gianglqd]

Ta có Sn=1.2.3+2.3.4+...+n.(n+1).(n+2)

$\Rightarrow$4Sn+1=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n.(n+1).(n+2)[(n+3)-(n-1)]+1

                                =n.(n+1).(n+2).(n+3)+1

                                =$(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)$

Đặt $n^{2}+3n$=a ta được:

4Sn+1=a(a+2)+1=$a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}$

$\Rightarrow$đpcm

[Toanthinh108]

Ta có Sn=1.2.3+2.3.4+...+n.(n+1).(n+2)

$\Rightarrow$4Sn+1=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n.(n+1).(n+2)[(n+3)-(n-1)]+1

                                =n.(n+1).(n+2).(n+3)+1

                                =$(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)$

Đặt $n^{2}+3n$=a ta được:

4Sn+1=a(a+2)+1=$a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}$

$\Rightarrow$đpcm

Mình không nghĩ được như trên nên mình đã làm như sau:

Ta có: $a_n=(n+1)\left ( n^2+2n \right )=(n+1)\left [ \left ( n+1 \right )^2-1 \right ]=\left ( n+1 \right )^3-(n+1)$

Suy ra: $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ $=\left [ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]-\left [ 2+3+...+(n+1) \right ]$

$=\left [1^3+ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]-\left [1+ 2+3+...+(n+1) \right ].$

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được:

$\left [1^3+ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

$1+ 2+3+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$

Suy ra: $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}.$

Từ đó ta có:

$4S_n+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^2+3n\right )\left(n^2+3n+2 \right )+1$

$=\left(n^2+3n\right )^2+2\left(n^2+3n\right )+1=\left(n^2+3n+1\right )^2.$

Mà $n \in \mathbb{N^*}$ nên $\left(n^2+3n+1\right )$ là số nguyên dương.

Vậy $4S_n+1$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanthinh108: 24-07-2015 - 23:01

[gianglqd]

Mình không nghĩ được như trên nên mình đã làm như sau:

Ta có: $a_n=(n+1)\left ( n^2+2n \right )=(n+1)\left [ \left ( n+1 \right )^2-1 \right ]=\left ( n+1 \right )^3-(n+1)$

Suy ra: $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ $=\left [ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]-\left [ 2+3+...+(n+1) \right ]$

$=\left [1^3+ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]-\left [1+ 2+3+...+(n+1) \right ].$

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được:

$\left [1^3+ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

$1+ 2+3+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$

Suy ra: $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}.$

Từ đó ta có:

$4S_n+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^2+3n\right )\left(n^2+3n+2 \right )+1$

$=\left(n^2+3n\right )^2+2\left(n^2+3n\right )+1=\left(n^2+3n+1\right )^2.$

Mà $n \in \mathbb{N^*}$ nên $\left(n^2+3n+1\right )$ là số nguyên dương.

Vậy $4S_n+1$ là số chính phương

Đừng nên quan trọng hóa vấn đề