Chủ đề này có 2 trả lời

[Pham Dac Thanh 1998]

a,b,c>0 CMR

 

$A=a\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{b(b+c)}}+b\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{c(c+a)}}+c\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a(a+b)}}\geq ab+bc+ca$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 25-07-2015 - 22:05

[Pham Dac Thanh 1998]

còn vài phút à   ace chém hộ !!!

[dranhclub99]

 

Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

$a\sqrt{\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{b(b+c)}}+a\sqrt{\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{b(b+c)}}+ab\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{3}}.\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{b+c}}\ge 3a.\sqrt[3]{\frac{\frac{{{(b+c)}^{4}}}{8}}{b+c}}=\frac{3}{2}a(b+c)$

 Tương tự với các cặp còn lại…

Cộng theo vế các BĐT lại ta được:

$2A+ab+bc+ca\ge \frac{3a(b+c)}{2}+\frac{3b(c+a)}{2}+\frac{3c(a+b)}{2}$

$\Leftrightarrow A\ge ab+bc+ca$ (đpcm)