Chủ đề này có 1 trả lời

[I Love MC]

$a,b,n$ nguyên dương , $(a,b)=1$. C/m mọi ước nguyên tố lẻ của $a^{2^{n}}+b^{2^{n}}$ đều có dạng $2^{n+1}.k+1$

[Changg Changg]

Giả sử $p$ là ước nguyên tố lẻ của $a^{2^n}+b^{2^n}$, khi đó $(a,p)=(b,p)=1$ nên theo tính chất hệ thặng dư đầy đủ, tồn tại $a'$ sao cho $aa'\equiv 1\pmod{p}$

Khi đó ta có $(a'b)^{2^{n}}+1\equiv 0\pmod{p}$, đặt $x=a'b$ thì $(x,p)=1$ và $x^{2^{n}}+1\equiv 0\pmod{p}$ nên $x^{2^{n+1}}\equiv 1\pmod{p}$

Xét $h=o_{p}(x)$ thì ta có $h\mid p-1$ và $h\mid 2^{n+1}$

Nếu như $h<2^{n+1}$ thì nghĩa là $h\mid 2^{n}$, do đó $x^{2^{n}}-1\equiv 0\pmod{p}$ nên $2\mid p$ vô lý do $p$ lẻ.

Vậy $k=2^{n+1}$, mà $p-1\equiv 2^{n+1}$ nên tồn tại $k$ sao cho $p-1=2^{n+1}k$ hay $p=2^{n+1}k+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Changg Changg: 28-07-2015 - 13:32