Chủ đề này có 7 trả lời

[lamducanhndgv]

Giải pt nghiệm nguyên

$x^3+2x+1=2^y$

[quangtq1998]

Tích hai số nguyên liên tiếp luôn không âm.
Nếu $y=0 \Rightarrow x =0$
Xét y khác 0
Từ phương trình suy ra x^3 phải là số lẻ  suy ra x là số lẻ nên $2x^2 >1$

Ta có $2^y = x^3+2x+1 = (x+1)^3 - ( 2x^2 + x(x+1))  \leq (x+1)^3 $
          $2^y = x^3+2x+1 = (x-1)^3 + 3x^2 +x -1 = (x-1)^3 +  2x^2-1 + x(x+1)> (x-1)^3 $


$ (x-1)^3<2^y\leq (x+1)^3 \Rightarrow  2^y = x^3 $ (vô lý vì $x^3$ lẻ, $2^y$ chẵn )  hoặc $2^y = (x+1)^3  \Rightarrow x  =0, y =0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 26-07-2015 - 21:49

[tranductucr1]

Tích hai số nguyên liên tiếp luôn không âm.
Nếu $y=0 \Rightarrow x =0$
Xét y khác 0
Từ phương trình suy ra x^3 phải là số lẻ  suy ra x là số lẻ nên 2x^2 >1
Ta có $2^y = x^3+2x+1  \leq x^3 + 2x+1 + 2x^2 + x(x+1)  = (x+1)^3 $
          $2^y = x^3+2x+1 = (x-1)^3 + 3x^2 +x -1 = (x-1)^3 +  2x^2-1 + x(x+1)> (x-1)^3 $
$\Rightarrow  2^y = x^3 $ (vô lý vì $x^3$ lẻ, $2^y$ chẵn )  hoặc $2^y = (x+1)^3  \Rightarrow x  =0, y =0 $

không đúng vì $2^{y}$ không có dạng $a^{3}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 26-07-2015 - 21:49

[lethanhson2703]

không đúng vì $2^{y}$ không có dạng $a^{3}$ 

$2^6=4^3$ đó bạn

[tranductucr1]

$2^6=4^3$ đó bạn

chưa chắc gì $2^{y}$ có dạng a^{3}  nên không thể dùng pp của bạn @quangtq1998

[Zaraki]

Giải pt nghiệm nguyên

$x^3+2x+1=2^y$

Lời giải. Xét $y=0,1,2$ ta tìm được $(x,y)=(0,0),(1,2)$. Nếu $y \ge 3$ thì $8|x^3+2x+1$ nên $x \equiv 5 \pmod{8}$.

Ta cũng có $3|x(x^2+2)$ với mọi $x$ nên $3|2^y-1$. Do đó $y$ chẵn. Phương trình tương đương với $$(x+1)(x^2-x+3)=2^y+2.$$

Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $x^2-x+3$. Do đó $2^y \equiv -2 \pmod{p}$. Vì $y$ chẵn nên $\left( \frac{-2}{p} \right)=1$ hay $(-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=1$. Ta suy ra $p \equiv 1,3 \pmod{8}$. 

Mặt khác vì $x \equiv 5 \pmod{8}$ nên $x^2-x+3 \equiv 7 \pmod{8}$. Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy $(x,y)=(1,2),(0,0)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 27-07-2015 - 14:45

[tranductucr1]

Lời giải. Xét $y=0,1,2$ ta tìm được $(x,y)=(1,2)$. Nếu $y \ge 3$ thì $8|x^3+2x+1$ nên $x \equiv 5 \pmod{8}$.

Ta cũng có $3|x(x^2+2)$ với mọi $x$ nên $3|2^y-1$. Do đó $y$ chẵn. Phương trình tương đương với $$(x-1)(x^2-x+3)=2^y+2.$$

Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $x^2-x+3$. Do đó $2^y \equiv -2 \pmod{p}$. Vì $y$ chẵn nên $\left( \frac{-2}{p} \right)=1$ hay $(-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=1$. Ta suy ra $p \equiv 1,3 \pmod{8}$. 

Mặt khác vì $x \equiv 5 \pmod{8}$ nên $x^2-x+3 \equiv 7 \pmod{8}$. Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy $(x,y)=(1,2),(0,0)$.

sao có phương trình tương đương được ạ 
 

[Zaraki]

sao có phương trình tương đương được ạ 
 

Cho mình xin lỗi, phương trình tương đương là $(x+1)(x^2-x+3)=2^y+2$.