Chủ đề này có 1 trả lời

[thichmontoan]

Cho $a,b,c$ là các số dương tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{abc}}{(1+a)(1+a+b)(1+a+b+c)}$

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ là các số dương tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{abc}}{(1+a)(1+a+b)(1+a+b+c)}$

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

$$1+a=a+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a}{3^3}}=4\sqrt[12]{\frac{a^3}{3^9}}$$

$$1+a+b=a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 6\sqrt[6]{\frac{ab^2}{2^2.3^3}}=6\sqrt[12]{\frac{a^2b^4}{2^4.3^6}}$$

$$1+a+b+c=a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{6}+\frac{c}{6}+\frac{c}{6}+\frac{c}{6}+\frac{c}{6}+\frac{c}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 12\sqrt[12]{\frac{ab^2c^6}{2^2.6^6.3^3}}=12\sqrt[12]{\frac{ab^2c^6}{2^8.3^9}}$$

$$\Rightarrow (1+a)(1+a+b)(1+a+b+c)\geq 288\sqrt[12]{\frac{a^6b^6c^6}{2^{12}.3^{24}}}=16\sqrt{abc}$$

$$\Rightarrow A\leq \frac{1}{16}$$