1 reply to this topic

[quanchun98]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$xf\left (y \right )+f\left (xf\left (y \right ) \right )-xf\left (f\left (y \right ) \right )-f\left (xy \right )=2x+f\left (y \right )-f\left (x+y \right )$

[Zaraki]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$xf\left (y \right )+f\left (xf\left (y \right ) \right )-xf\left (f\left (y \right ) \right )-f\left (xy \right )=2x+f\left (y \right )-f\left (x+y \right ) \qquad (1)$

Lời giải. Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $(1)$.

$P(1,y) \Rightarrow f(y)+2=f(y+1). \qquad (2)$

$P(x,1) \Rightarrow x \left[ f(1)-f(f(1))-2 \right]+2+f(xf(1))-f(1)=0. \qquad (3)$

 

Nếu $f(1)=0$ thì $f(2)=f(1)+2=2$.

$P(x,2) \Rightarrow 2x+2-f(x+2)=0 \Rightarrow f(x+2)=2(x+1) \Rightarrow f(x)=2(x-1)$.

 

Nếu $f(1) \ne 0$. Khi đó từ $(3)$, thay $x$ bởi $\frac{x}{f(1)}$ ta suy ra $x \cdot \frac{f(1)-f(f(1))-2 }{f(1)} +2-f(1)+f(x)=0. \qquad (4)$

Thay $x$ bởi $x+1$ ta được $(x+1) \cdot \frac{f(1)-f(f(1))-2 }{f(1)} +2-f(1)+f(x+1)=0. \qquad (5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ ta suy ra $f(x+1)-f(x)+ \frac{f(1)-f(f(1))-2}{f(1)}=0 \Rightarrow f(1)-f(f(1))-2=-2f(1) \Rightarrow 3f(1)=f(f(1))+2$.

Khi đó $(4) \Leftrightarrow f(x)=f(1)-2+2x \; \forall x \in \mathbb{R}$. Thử vào phương trình thấy thoả mãn.

 

Vậy $f(x)=2x+k \; \forall x \in \mathbb{R}$ với $k \in \mathbb{R}$.

Edited by Zaraki, 28-07-2015 - 13:58.