Cho a,b,c dương, a+b+c=3. CMR: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \leq 4$
$\sum {a^{2}+b}+abc \leq 4$
Started By Frankesten, 28-07-2015 - 15:58
#2
Posted 28-07-2015 - 16:13
Dinh Xuan Hung
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1396 posts
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c dương, a+b+c=3. CMR: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \leq 4$
Không mất tính tổng quát ta giả sử b nằm giữa c và a.
suy ra $(b-a)(b-c)\leq 0\rightarrow c(b-a)(b-c)\leq 0$
suy ra $b^2c+c^2a\leq bc^2+abc$
$\Leftrightarrow b^2c+c^2a+a^2b+abc\leq bc^2+a^2b+2abc\leq \frac{1}{2}2b(a+c)^2$
$\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{(2b+a+c+a+c)}{3} \right ]^3$$=\frac{1}{2}\frac{\left [ 2(a+b+c) \right ]^3}{27}=4$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 hoặc a=2,b=1,c=0
Edited by Dinh Xuan Hung, 28-07-2015 - 16:15.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
