Chủ đề này có 9 trả lời

[sanghamhoc]

Cho$x,y,z\geq 0$ , tìm GTNN của : $p=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sanghamhoc: 28-07-2015 - 19:51

[sanghamhoc]

Cho $x,y,z \geq 0$ , tìm GTNN của : $p=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

[tranductucr1]

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$=$\frac{x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{yz+xy}+\frac{z^{2}}{xz+yz} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)} \geq \frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}=\frac{3}{2}$ by C-S 
ps đây là bất đẳng thức Nesbit 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 28-07-2015 - 20:11

[Bonjour]

Cho$x,y,z\geq 0$ , tìm GTNN của : $p=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

http://diendantoanho...fracyxzfraczxy/

Đăng một lần thôi bạn !!

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $x,y,z \geq 0$ , tìm GTNN của : $p=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

$P=\sum (\frac{x}{y+z}+1)-3=2(\sum x)(\sum \frac{1}{y+z})/2-3\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

[sanghamhoc]

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$=$\frac{x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{yz+xy}+\frac{z^{2}}{xz+yz} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)} \geq \frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}=\frac{3}{2}$ by C-S 
ps đây là bất đẳng thức Nesbit 

Bạn ơi, mình chưa học bdt nesbit.Bạn dùng Cauchy với Bunhia thôi được không 

[phamhuy1801]

Làm theo phong cách lớp 8 

Đặt $a=z+y; b=x+z; c=z+y \rightarrow \frac{a+b+c}{2}=x+y+z$

$\rightarrow x=\frac{-a+b+c}{2}; y=\frac{a-b+c}{2b}; z=\frac{a+b-c}{2c}$

Chỉ cần chứng minh $P=\frac{-a+b+c}{2a}+\frac{a-b+c}{2b}+\frac{a+b-c}{2c} \ge \frac{3}{2}$ bằng cách tách các hạng tử ra, đặt $\frac{1}{2}$ chung rồi nhóm thành từng nhóm 2 số nghịch đảo nhau, chứng minh được từng nhóm $\ge 2$ bằng bất đẳng thức Cauchy.

Vậy $Min_P=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c \leftrightarrow x=y=z$

[quan1234]

Cách khác này đặt A=$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

B=$\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}$

C=$\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}$

Theo BĐT Cô-si, ta có A+B$\geq$3

B+C=3

A+C$\geq$3

nên

2A+B+C$\geq$6 hay A$geq\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 28-07-2015 - 21:59

[tranhai0247]

đặt ẩn phụ nhá ...ở các mẫu ấy

[daotuanminh]

Cho $x,y,z \geq 0$ , tìm GTNN của : $p=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

BĐT quen thuộc rồi, có 45 cách chứng minh !