Chủ đề này có 3 trả lời

[royal1534]

  1,Cho $a,b,c>0$ 

Chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 29-07-2015 - 09:32

[Truong Gia Bao]

  1,Cho $a,b,c>0$ 

Chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

 

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$, ta cần chứng minh: $\sum \left(\dfrac{1}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{ab+bc+ca+a^2}\right)(a-b)(a-c)\geqslant 0$

hay viết ngọn lại là $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b) \geqslant 0$. Do $a\geqslant b\geqslant c$ nên $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$

Do đó $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)\geqslant (a-b)(b-c)(x-y)\geqslant 0$

[Truong Gia Bao]

  1,Cho $a,b,c>0$ 

Chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Bạn cũng có thể tham khảo ở đây

[hoanglong2k]

  1,Cho $a,b,c>0$ 

Chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

 Ta có : $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{a^2+b^2+2c^2}{ab+bc+ca+c^2}=\frac{a^2+b^2+2c^2}{(b+c)(a+c)}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{a^2+b^2+2c^2}{(b+c)(a+c)}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$

 BĐT trên luôn đúng khi giả sử $c=\min \{ a,b,c \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 29-07-2015 - 06:07