Chủ đề này có 2 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho với mọi $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$

thì $P(a^{3})+P(b^{3})+P(c^{3})=3P(abc)$

[Minhnguyenthe333]

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho với mọi $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$
thì $P(a^{3})+P(b^{3})+P(c^{3})=3P(abc)$

Ta có:$(a+b+c)^3+3abc=\sum a^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Lại có:
$a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$$ (1)$
$P(x)+P(x)+P(x)=3P(x)$$ (2)$
Từ $(1),(2)$:
$\Rightarrow P(x)=x$ hoặc $P(x)=k$ $(k\in R)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 30-07-2015 - 09:12

[Changg Changg]

Cho $a=3x, b=-2x, c=-x$ ta được $P(27x^3)+P(-8x^3)+P(-x^3)=3P(6x^3)$

Đồng nhất hệ số đầu tiên ta được: $27^n+(-8)^{n}-3.6^n+(-1)^n=0\Leftrightarrow n=1$ (Chia cả hai vế cho $27^n$ rồi xét $n$ chẵn $n$ lẻ)

Do đó $P(x)=ax+b$. Thử lại thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Changg Changg: 30-07-2015 - 10:27